Problema — Quattro cicli nel piano T-S

Testo

Quattro cicli reversibili sono disegnati nel piano $T$-$S$ tra le stesse $T_c$ e $T_f$: (A) rettangolo (Carnot), (B) trapezio, (C) parallelogramma inclinato, (D) ellisse. Quale ha rendimento maggiore? Quale minore? Perché?

Soluzione

Il piano $T$-$S$ come strumento. In un diagramma temperatura-entropia il calore scambiato è l’area sotto la curva: $Q = \int T\,\dd S$. Il calore assorbito è l’area sotto il tratto in cui $S$ cresce; quello ceduto sotto il tratto in cui $S$ decresce. Il lavoro netto è l’area racchiusa dal ciclo.

Perché il rettangolo (Carnot) vince. Il rendimento è $\eta = L/Q_c = \text{area racchiusa}/\text{area sotto il ramo di assorbimento}$. Solo il rettangolo assorbe tutto il calore alla temperatura massima $T_c$ (ramo orizzontale in alto) e cede tutto alla minima $T_f$ (ramo in basso). Ogni altro ciclo assorbe parte del calore a temperature inferiori a $T_c$ e ne cede parte a temperature superiori a $T_f$: entrambe le cose peggiorano il rendimento.

$\ev{\eta_A = \eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_f}{T_c}\ \text{(massimo)}}$

Il minimo: l’ellisse. L’ellisse (D) è il caso opposto del rettangolo: scambia calore su un intervallo continuo di temperature, con pochissimo scambio effettivo alle temperature estreme. La sua area racchiusa è piccola rispetto al calore assorbito, quindi

$\ev{\eta_D\ \text{(ellisse)} = \text{minimo}}$

Ordinamento. Trapezio (B) e parallelogramma (C) stanno in mezzo, più vicini a Carnot quanto più “spigolosi” e schiacciati verso le due temperature estreme:

$\eta_A > \eta_B,\ \eta_C > \eta_D$

Morale: tra tutti i cicli reversibili nello stesso intervallo $[T_f, T_c]$, Carnot è imbattibile proprio perché è l’unico a concentrare ogni scambio termico agli estremi di temperatura.

Collegamenti

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