Problema — Frazione di elettroni da trasferire

Testo

Due persone a $1\ \text{m}$. Stima quale frazione degli elettroni di una delle due bisognerebbe trasferire all’altra affinché la forza di repulsione elettrica risultante sia pari al peso di una persona ($\approx 700\ \text{N}$). Massa corporea $70\ \text{kg}$, prevalentemente acqua.

Soluzione

Passo 1 — carica necessaria. Impongo che la forza di Coulomb tra le due persone (distanti $r = 1\ \text{m}$, con carica uguale $q$) valga $F = 700\ \text{N}$:

$F = k\,\frac{q^2}{r^2} \;\Longrightarrow\; q = r\sqrt{\frac{F}{k}} = 1\cdot\sqrt{\frac{700}{8{,}99\cdot 10^9}} = \sqrt{7{,}79\cdot 10^{-8}} \approx 2{,}8\cdot 10^{-4}\ \text{C}$

Passo 2 — elettroni corrispondenti. Divido per la carica elementare $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$:

$n = \frac{q}{e} = \frac{2{,}8\cdot 10^{-4}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx 1{,}7\cdot 10^{15}\ \text{elettroni}$

Passo 3 — elettroni totali nel corpo. Il corpo ($70\ \text{kg}$) è quasi tutto acqua. Moli d’acqua: $70000\ \text{g}/18\ (\text{g/mol}) \approx 3{,}9\cdot 10^3\ \text{mol}$. Ogni molecola $\text{H}_2\text{O}$ ha $10$ elettroni ($8+1+1$):

$N_e \approx 3{,}9\cdot 10^3 \cdot 6{,}02\cdot 10^{23} \cdot 10 \approx 2{,}3\cdot 10^{28}\ \text{elettroni}$

Passo 4 — frazione:

$\frac{n}{N_e} = \frac{1{,}7\cdot 10^{15}}{2{,}3\cdot 10^{28}} \approx 7\cdot 10^{-14} \sim 10^{-13}$

Basta spostare circa un elettrone su diecimila miliardi: la forza di Coulomb è enormemente più forte della gravità.

$\ev{\sim 10^{-13}}$

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Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Stime di Fermi