Problema — Forza di Coulomb nell'atomo di idrogeno

Testo

Nel modello planetario dell’atomo di idrogeno l’elettrone percorre un’orbita di raggio $r \approx 5{,}3\cdot 10^{-11}\ \text{m}$ attorno al protone. Calcola il modulo della forza di Coulomb fra le particelle e confrontala con la forza gravitazionale ($m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$): di quanti ordini di grandezza è maggiore quella elettrica?

Soluzione

Forza elettrica. Elettrone e protone hanno carica $\pm e$ con $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$. Legge di Coulomb con $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$:

$F_e = k\,\frac{e^2}{r^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(1{,}6\cdot 10^{-19})^2}{(5{,}3\cdot 10^{-11})^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{2{,}56\cdot 10^{-38}}{2{,}81\cdot 10^{-21}} \approx 8{,}2\cdot 10^{-8}\ \text{N}$

Forza gravitazionale. Con $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$:

$F_g = G\,\frac{m_e m_p}{r^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11} \cdot \frac{(9{,}1\cdot 10^{-31})(1{,}67\cdot 10^{-27})}{2{,}81\cdot 10^{-21}} = 6{,}67\cdot 10^{-11} \cdot \frac{1{,}52\cdot 10^{-57}}{2{,}81\cdot 10^{-21}} \approx 3{,}6\cdot 10^{-47}\ \text{N}$

Rapporto:

$\frac{F_e}{F_g} = \frac{8{,}2\cdot 10^{-8}}{3{,}6\cdot 10^{-47}} \approx 2{,}3\cdot 10^{39}$

La forza elettrica è circa $39$ ordini di grandezza più intensa di quella gravitazionale: nell’atomo la gravità è del tutto trascurabile.

$\ev{F_e\approx 8{,}2\cdot 10^{-8}\ \text{N},\ F_e/F_g\sim 10^{39}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Oggetti: Atomo di idrogeno