Problema — Equilibrio di tre cariche sull'asse

Testo

Due cariche puntiformi $q_1 = +Q$ in $x = 0$ e $q_2 = +4Q$ in $x = L$ fissate sull’asse $x$. Aggiungere una terza carica $q_3$ così che tutte e tre siano contemporaneamente in equilibrio (forza totale nulla su ciascuna). Determina posizione, segno e valore di $q_3$ in funzione di $Q$ e $L$.

Soluzione

Posizione di $q_3$. Perché $q_3$ sia in equilibrio, deve stare tra le due cariche positive (solo lì le due repulsioni/attrazioni sono opposte). Sia $x$ la sua distanza da $q_1$; la distanza da $q_2$ è $L-x$. Impongo pari modulo delle due forze:

$k\,\frac{Q\,|q_3|}{x^2} = k\,\frac{4Q\,|q_3|}{(L-x)^2} \;\Longrightarrow\; (L-x)^2 = 4x^2 \;\Longrightarrow\; L-x = 2x \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{1}{3}L$

Segno e valore di $q_3$. Impongo ora l’equilibrio di $q_1$: su di essa agiscono $q_2$ (repulsiva) e $q_3$ (a distanza $x=L/3$). Perché si annullino, $q_3$ deve attrarre $q_1$, quindi $q_3<0$. In modulo:

$k\,\frac{Q\cdot 4Q}{L^2} = k\,\frac{Q\,|q_3|}{(L/3)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{4Q^2}{L^2} = \frac{9\,Q\,|q_3|}{L^2} \;\Longrightarrow\; |q_3| = \tfrac{4}{9}Q$

Si verifica che con questi valori anche $q_2$ risulta in equilibrio (la simmetria del problema lo garantisce). Quindi:

$\ev{q_3=-\tfrac{4}{9}Q,\ x=\tfrac{1}{3}L}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione · Impostazione simbolica