Problema — Equilibrio su una retta

Testo

Due cariche $q_A = 4\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ e $q_B = -10^{-3}\ \text{C}$ sono poste a distanza $d = 3\ \text{m}$ su una retta. Dove si deve porre una carica $q_C$ affinché la forza netta su di essa sia nulla? Imposta $k\,q_A q_C/x^2 = k\,|q_B| q_C/(d-x)^2$ e discuti quale soluzione è fisica.

Soluzione

Le due cariche hanno segno opposto. Su una carica di prova $q_C$ posta tra loro, la forza di $q_A$ e quella di $q_B$ hanno la stessa direzione (una respinge, l’altra attrae, ma entrambe la spingono verso $q_B$): non possono annullarsi. L’equilibrio esiste solo fuori dal segmento, dal lato della carica di modulo minore ($q_B$), dove le due forze possono opporsi.

Misuro $x$ dalla posizione di $q_A$. Nella regione oltre $q_B$ ($x > d$) la distanza da $q_B$ vale $x-d$. Impongo pari modulo:

$k\,\frac{|q_A|\,q_C}{x^2} = k\,\frac{|q_B|\,q_C}{(x-d)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{|q_A|}{x^2} = \frac{|q_B|}{(x-d)^2}$

Con $|q_A| = 4\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ e $|q_B| = 1\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ il rapporto è $|q_A|/|q_B| = 4$:

$\left(\frac{x}{x-d}\right)^2 = \frac{|q_A|}{|q_B|} = 4 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x-d} = \pm 2$

Radice $+2$ (regione esterna, $x>d$):

$x = 2(x-d) \;\Longrightarrow\; x = 2x - 2d \;\Longrightarrow\; x = 2d = 6\ \text{m}$

Radice $-2$ (regione interna):

$x = -2(x-d) \;\Longrightarrow\; 3x = 2d \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{2}{3}d = 2\ \text{m}$

La radice interna $x = 2\ \text{m}$ va scartata: lì le forze sono concordi (cariche di segno opposto), quindi non si annullano davvero — è una soluzione algebrica spuria dell’equazione dei moduli. La soluzione fisica è quella esterna, $3\ \text{m}$ oltre $q_B$:

$\ev{x = 6\ \text{m da }q_A\ \ (\text{ossia }3\ \text{m oltre }q_B,\ \text{dal lato della carica minore})}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione · Impostazione simbolica