Problema — Campo al centro di un triangolo equilatero

Testo

Tre cariche puntiformi $q = +1{,}0\ \mu\text{C}$ sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato $\ell = 0{,}10\ \text{m}$. Calcola il campo elettrico al centro del triangolo. Come cambia il risultato se una delle tre cariche è $-q$ invece di $+q$?

Soluzione

Distanza centro–vertice. Nel triangolo equilatero il centro (baricentro) dista da ogni vertice $R = \ell/\sqrt{3}$:

$R = \frac{\ell}{\sqrt{3}} = \frac{0{,}10}{1{,}732} = 0{,}0577\ \text{m}$

Campo di una singola carica al centro. Con $k = 8{,}99\cdot 10^9$:

$E_1 = k\,\frac{q}{R^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}0\cdot 10^{-6}}{(0{,}0577)^2} = \frac{8{,}99\cdot 10^3}{3{,}33\cdot 10^{-3}} = 2{,}70\cdot 10^6\ \text{N/C}$

Tre cariche $+q$ (caso simmetrico). I tre vettori campo hanno uguale modulo $E_1$ e sono diretti dal centro verso l’esterno (cariche positive) a $120°$ l’uno dall’altro. La loro somma vettoriale è nulla per simmetria:

$\vv{E}_{\text{centro}} = \vv{E}_1 + \vv{E}_2 + \vv{E}_3 = \vv 0$

Sostituzione di una carica con $-q$. Cambiare un vertice da $+q$ a $-q$ equivale a partire dalla configurazione simmetrica (campo nullo) e aggiungere in quel vertice una carica $-2q$. Il campo residuo è quindi solo quello di una carica $-2q$ posta in quel vertice:

$E = k\,\frac{2q}{R^2} = 2\,E_1 = 2\cdot 2{,}70\cdot 10^6 = 5{,}4\cdot 10^6\ \text{N/C}$

La direzione: essendo la carica negativa, il campo al centro punta verso il vertice occupato da $-q$.

$\ev{E_{\text{centro}}\approx 0;\ \text{con }-q:\ E\approx 5{,}4\cdot 10^6\ \text{N/C verso }-q}$

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico Competenze: Principio di sovrapposizione