Problema — Collisione tra cariche con attrito

Testo

Due particelle ($q_1 = 10^{-3}\ \text{C}$, $m_1 = 1\ \text{kg}$; $q_2 = -10^{-4}\ \text{C}$, $m_2 = 2\ \text{kg}$) sono inizialmente a distanza $d = 10\ \text{m}$. Tra loro agisce un attrito $F_a = 5\ \text{N}$, dissipativo e costante lungo la traiettoria. Le cariche si attraggono: si incontrano? Usa una tabella energetica con $E_{\text{cin}}$, $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2/r$ ed $E_{\text{term}}$; confronta l’energia liberata dall’avvicinamento con il lavoro dell’attrito.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Le cariche hanno segno opposto, quindi si attraggono e l’energia potenziale elettrostatica è negativa:

$E_{\text{pot,el}}(r) = k\,\frac{q_1 q_2}{r},\qquad q_1 q_2 = (10^{-3})(-10^{-4}) = -10^{-7}\ \text{C}^2$

Bilancio (diagramma a bolle): l’avvicinamento libera energia potenziale (che diventa cinetica), mentre l’attrito ne dissipa in calore. Le cariche si incontrano se, avvicinandosi, l’energia potenziale liberata supera il lavoro dell’attrito.

Energia potenziale a $r = 10\ \text{m}$:

$E_{\text{pot,el}}(10) = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{-10^{-7}}{10} = -89{,}9\ \text{J}$

Avvicinandosi, $r$ diminuisce e $E_{\text{pot,el}} = k q_1 q_2/r \to -\infty$: l’energia liberata è illimitata. Confronto quantitativo chiudendo da $10\ \text{m}$ fino, per esempio, a $1\ \text{m}$:

$\Delta E_{\text{lib}} = |E_{\text{pot,el}}(1) - E_{\text{pot,el}}(10)| = k\,|q_1 q_2|\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{10}\right) = 899\cdot 0{,}9 \approx 809\ \text{J}$

Lavoro dell’attrito sui $10\ \text{m}$ iniziali:

$W_a = F_a\, d = 5\cdot 10 = 50\ \text{J}$

Già chiudendo di soli $9\ \text{m}$ si liberano $\sim 809\ \text{J} \gg 50\ \text{J}$; man mano che si avvicinano l’energia disponibile cresce senza limite mentre l’attrito dissipa al più $\sim 50\ \text{J}$ sull’intero tragitto. L’attrazione vince nettamente.

$\ev{\text{Sì, si incontrano: energia coulombiana liberata } (\gtrsim 800\ \text{J}) \gg W_a = 50\ \text{J}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Energia cinetica Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Diagramma a bolle di scambio energetico