Problema — Due cariche uguali e una carica di prova

Testo

Due cariche $+q$ sono ferme a distanza $d$. Una carica di prova $+q'$ è posta nel punto medio. Discuti la posizione di equilibrio e la sua stabilità, distinguendo gli spostamenti lungo la congiungente da quelli ortogonali ad essa.

Soluzione

Il punto medio è di equilibrio. Nel punto medio le due cariche $+q$ sono alla stessa distanza $d/2$ da $q'$ e la respingono con forze di uguale modulo e verso opposto lungo la congiungente. La risultante è nulla:

$\vv{F}_{\text{netta}} = \vv{F}_1 + \vv{F}_2 = \vv 0$

Spostamento lungo la congiungente (asse $x$). Se $q'$ si sposta verso una delle due cariche, si avvicina a quella e si allontana dall’altra. La carica più vicina la respinge con forza maggiore ($1/r^2$), quella più lontana con forza minore: nasce una forza netta che la ricaccia verso il centro. L’equilibrio è stabile in questa direzione.

Spostamento ortogonale alla congiungente (asse $y$). Se $q'$ si sposta perpendicolarmente, entrambe le cariche $+q$ sono ora dalla stessa parte rispetto alla nuova posizione e la respingono allontanandola ancora di più dall’asse. Non c’è forza di richiamo: l’equilibrio è instabile in direzione trasversale.

Conclusione: punto di sella. L’equilibrio è stabile lungo una direzione e instabile lungo l’altra. È un tipico punto di sella, in accordo con il teorema di Earnshaw: con sole forze elettrostatiche non esiste alcun punto di equilibrio stabile in tutte le direzioni.

$\ev{\text{punto di sella: stabile assiale, instabile trasversale}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione