Problema — Fantafisica costante k raddoppiata

Testo

Fantafisica: $k$ raddoppiata. Se la costante di Coulomb $k$ raddoppiasse, come cambierebbero le forze atomiche, i raggi degli atomi, le energie di legame? Stima qualitativamente gli scaling.

Soluzione

Poniamo $k \to 2k$ e analizziamo le dipendenze in $k$ delle varie grandezze.

Forze atomiche. La forza di Coulomb è direttamente proporzionale a $k$:

$F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} \ \propto\ k \quad\Rightarrow\quad F \to 2F$

Le forze fra le cariche raddoppiano.

Raggio degli atomi. Il raggio di Bohr scala come $a_0 = \dfrac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$; poiché $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ si ha $\varepsilon_0 \propto 1/k$, quindi $a_0 \propto 1/k$:

$a_0 \ \propto\ \frac{1}{k} \quad\Rightarrow\quad a_0 \to \frac{a_0}{2}$

Gli atomi si dimezzano di dimensione.

Energie di legame. L’energia di legame scala come $E \propto k^2$ (una potenza da $k$ nell’interazione, un’altra dal raggio $\propto 1/k$):

$E \ \propto\ k^2 \quad\Rightarrow\quad E \to 4E$

Le energie di legame quadruplicano.

Velocità della luce. Da $c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ con $\varepsilon_0 \propto 1/k$: il libro riporta che $c$ scenderebbe di un fattore $\sqrt{2}$ (le relazioni di proporzionalità qui dipendono da quali costanti si tengano fisse; segnaliamo l’ambiguità e adottiamo il valore del testo).

$\ev{F \to 2F,\quad a_0 \to a_0/2,\quad E \to 4E,\quad c \to c/\sqrt{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Atomo di idrogeno