Esercizio svolto — Carica su molla, equilibrio ed espansione

Testo

Una carica $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$ è fissata nell’origine. Una seconda carica $q_2 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ (massa $m = 3\ \text{kg}$) è collegata a una molla ($K = 20\ \text{N/m}$, lunghezza a riposo $\ell_0 = 0$) ancorata nell’origine. 1) Trovare la posizione di equilibrio. 2) Se il sistema ruota con periodo $T = 1\ \text{s}$, come cambia la posizione di equilibrio?

Soluzione

Uso $k = 9\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$ (valore del testo). Le cariche sono concordi, quindi la forza di Coulomb spinge $q_2$ verso l’esterno; la molla (con $\ell_0=0$) la tira verso il centro con forza $K x$.

1) Equilibrio (senza rotazione). Bilancio tra molla (verso il centro) e Coulomb (verso l’esterno):

$K x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2} \;\Longrightarrow\; K x^3 = k\,q_1 q_2$

$20\, x^3 = 9\cdot 10^9\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-4} = 9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-8} = 180 \;\Longrightarrow\; x^3 = 9$

$\ev{x_{\text{eq}} = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}08\ \text{m}}$

2) Con rotazione (periodo $T = 1\ \text{s}$). Nel riferimento rotante compare la forza centrifuga $m\omega^2 x$ diretta verso l’esterno, con

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\ \text{rad/s} \;\Longrightarrow\; m\omega^2 = 3\cdot(2\pi)^2 = 3\cdot 39{,}48 = 118{,}4\ \text{N/m}$

Bilancio forza verso il centro (molla) = forze verso l’esterno (Coulomb + centrifuga):

$K x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2} + m\omega^2 x \;\Longrightarrow\; (K - m\omega^2)\,x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2}$

La rigidezza efficace è

$K - m\omega^2 = 20 - 118{,}4 = -98{,}4\ \text{N/m} < 0$

Il primo membro $(K-m\omega^2)x$ è negativo (per $x>0$), mentre il secondo membro $k q_1 q_2/x^2$ è positivo: l’equazione non ha soluzione reale positiva. Fisicamente la molla non è più in grado di trattenere la carica: molla insufficiente e forza centrifuga sono nette verso l’esterno insieme alla repulsione coulombiana, quindi il raggio cresce indefinitamente.

$\ev{\text{Con } T=1\text{ s: } K - m\omega^2 < 0 \Rightarrow \text{nessun equilibrio, la carica sfugge verso l'esterno}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla