Problema — Stima di Fermi: forza fra due elettroni

Testo

Stima di Fermi: forza fra due elettroni in un atomo. Stima la forza coulombiana fra due elettroni a distanza $r \sim 1\ \text{Å} = 10^{-10}\ \text{m}$. Confronta l’ordine di grandezza con il peso di un singolo atomo per percepire quanto sia intensa la repulsione a scala microscopica.

Soluzione

Forza coulombiana. Con $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$, $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$, $r = 10^{-10}\ \text{m}$:

$F = k\,\frac{e^2}{r^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(1{,}6\cdot 10^{-19})^2}{(10^{-10})^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{2{,}56\cdot 10^{-38}}{10^{-20}} \approx 2{,}3\cdot 10^{-8}\ \text{N}$

L’ordine di grandezza è $\sim 10^{-8}\ \text{N}$.

Confronto col peso di un atomo. Un atomo ha massa dell’ordine di $m_{\text{atomo}} \sim 10^{-26}\ \text{kg}$, quindi peso

$P = m_{\text{atomo}}\,g \sim 10^{-26} \cdot 10 \sim 10^{-25}\ \text{N}$

Rapporto.

$\frac{F}{P} \sim \frac{10^{-8}}{10^{-25}} \sim 10^{17}$

La repulsione coulombiana fra due elettroni è circa $10^{17}$ volte più intensa del peso di un atomo: a scala microscopica la forza elettrica è enormemente dominante.

$\ev{F \sim 2{,}3\cdot 10^{-8}\ \text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Stime di Fermi