Problema — Sfida: equilibrio di tre cariche allineate

Testo

Sfida: equilibrio di tre cariche allineate. Tre cariche allineate: $+q$ in un punto, $-Q$ ad altra distanza, e $+q'$ posta sul segmento congiungente a distanza $r_1$ da $+q$ e $r_2$ da $-Q$. Trova la condizione su $r_1$ ed $r_2$ affinché $+q'$ sia in equilibrio. Discuti brevemente la stabilità.

Soluzione

Forze sulla carica $+q'$. Su $q'$ agiscono la repulsione di $+q$ e l’attrazione di $-Q$. La condizione di equilibrio impone che i due moduli si eguaglino:

$k\,\frac{q\,q'}{r_1^2} = k\,\frac{Q\,q'}{r_2^2}$

Semplificazione. Eliminando $k$ e $q'$:

$\frac{q}{r_1^2} = \frac{Q}{r_2^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{Q}{q} \quad\Rightarrow\quad \frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Q}{q}}$

Stabilità. Anche imponendo l’equilibrio lungo la retta, per una piccola perturbazione trasversale (perpendicolare all’asse) la carica non torna indietro: l’equilibrio è instabile. È una manifestazione del teorema di Earnshaw, secondo cui nessuna configurazione di cariche puntiformi in sole forze elettrostatiche può essere in equilibrio stabile.

$\ev{\dfrac{r_2}{r_1} = \sqrt{\dfrac{Q}{q}}\ \text{(equilibrio instabile)}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione · Impostazione simbolica