Esercizio svolto — Particella carica come proiettile vicino a un piano carico

Testo

Una carica ($q = -2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m = 0{,}1\ \text{kg}$) viene lanciata con $\vv{v}_0 = (0,\ 100)\ \text{m/s}$ vicino a un piano infinito carico ($\sigma = 10^{-6}\ \text{C/m}^2$). Descrivere il moto.

Soluzione

Uso $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{F/m}$, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$. Il campo di un piano infinito carico è uniforme, diretto orizzontalmente (perpendicolare al piano):

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{10^{-6}}{2\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}} \approx 5{,}65\cdot 10^4\ \text{N/C}$

La carica è negativa, quindi la forza elettrica è attrattiva verso il piano (opposta a $\vv{E}$), con modulo:

$F_{\text{el}} = |q|\,E = 2\cdot 10^{-4}\cdot 5{,}65\cdot 10^4 = 11{,}3\ \text{N}$

Accelerazioni. Due forze costanti: il peso $\vv{P} = (0,\ -mg)$ (verticale) e la forza elettrica $\vv{F}_{\text{el}} = (-F_{\text{el}},\ 0)$ (orizzontale, verso il piano). Quindi:

$a_x = -\frac{F_{\text{el}}}{m} = -\frac{11{,}3}{0{,}1} = -113\ \text{m/s}^2\ (\text{verso il piano}),\qquad a_y = -g = -9{,}8\ \text{m/s}^2$

Moto. Con velocità iniziale verticale $\vv{v}_0 = (0,\ 100)$, il moto è parabolico (accelerazione costante non parallela alla velocità), come un lancio ma con una “gravità elettrica” orizzontale molto più intensa di quella reale. Le equazioni orarie (origine nel punto di lancio):

$\begin{aligned} x(t) &= -\tfrac12\,(113)\,t^2 \\ y(t) &= 100\,t - \tfrac12\,(9{,}8)\,t^2 \end{aligned}$

La particella sale, decelera verticalmente per gravità e nel frattempo accelera orizzontalmente verso il piano, tracciando una parabola che la porta a impattare sul piano.

$\ev{\text{Moto parabolico: } a_x \approx 113\ \text{m/s}^2\ \text{verso il piano},\ a_y = -g}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Campo elettrico · Moto parabolico Oggetti: Piano infinito carico · Proiettile