Resistori in poliedro

Testo

Resistori in poliedro. Considera un tetraedro regolare le cui sei spigoli sono altrettanti resistori identici di valore $R$. Si applica una differenza di potenziale tra due vertici qualsiasi del tetraedro: qual è la resistenza equivalente vista da quei due vertici? Suggerimento: usa la simmetria per individuare a priori coppie di nodi che restano allo stesso potenziale; una volta trovati, puoi “cortocircuitarli” senza alterare il circuito. Variante facoltativa: ripeti per un cubo le cui 12 spigoli sono resistori $R$, applicando la d.d.p. tra due vertici diametralmente opposti (la risposta classica è $R_\text{eq} = \tfrac{5}{6}R$). Spunto da (Povey 2015).

Soluzione

Idea chiave — nodi equipotenziali. Se due nodi, per simmetria, si trovano allo stesso potenziale, nessuna corrente scorre nel resistore che li collega: possiamo cortocircuitarli (fonderli in un solo nodo) senza cambiare la resistenza equivalente. Questa è l’applicazione elettrostatica del concetto di superficie equipotenziale.

Tetraedro. Siano $A$ e $B$ i due vertici tra cui si applica la d.d.p.; siano $C$ e $D$ gli altri due. Per simmetria (scambiando $C\leftrightarrow D$ il circuito è identico), i nodi $C$ e $D$ sono allo stesso potenziale: il resistore $C$–$D$ non porta corrente e può essere rimosso (o cortocircuitato, è indifferente). Restano i percorsi:

• il ramo diretto $A$–$B$: resistenza $R$;
• i due rami $A$–$C$–$B$ e $A$–$D$–$B$: ciascuno $2R$, in parallelo tra loro danno $\tfrac{2R\cdot 2R}{2R+2R} = R$.

Questi due gruppi ($R$ diretto e $R$ dei percorsi laterali) sono in parallelo tra $A$ e $B$: $R_\text{eq} = \frac{R\cdot R}{R+R} = \frac{R}{2}$ $\ev{R_\text{eq}^{\ \text{tetraedro}} = \frac{R}{2}}$

Cubo (vertici diametralmente opposti). Siano $A$ e $G$ i due vertici opposti lungo la diagonale del cubo. Iniettando corrente $I$ in $A$: per simmetria essa si divide equamente tra i 3 spigoli uscenti da $A$ ($I/3$ ciascuno). I 3 nodi adiacenti ad $A$ sono equipotenziali; analogamente i 3 nodi adiacenti a $G$ sono equipotenziali. Nel tratto centrale la corrente $I$ si ripartisce sui 6 spigoli intermedi ($I/6$ ciascuno). Sommando le cadute di potenziale lungo un cammino $A\to\text{adiacente}\to\text{adiacente}\to G$: $V = \frac{I}{3}R + \frac{I}{6}R + \frac{I}{3}R = I R\left(\frac13+\frac16+\frac13\right) = \frac{5}{6}\,I R$ Da $R_\text{eq} = V/I$: $\ev{R_\text{eq}^{\ \text{cubo}} = \frac{5}{6}R}$

In entrambi i casi la simmetria individua i nodi equipotenziali e riduce un reticolo tridimensionale a un semplice calcolo serie–parallelo. Vedi Riferimenti bibliografici per (Povey 2015).

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Potenziale elettrico Metodi: Semplificazione serie-parallelo