Campo di tre cariche in serie

Cariche in serie su un asse. Tre cariche puntiformi su un asse, da sinistra a destra:

• $q_1 = +2\ \mu\text{C}$ in $x = 0$;
• $q_2 = -3\ \mu\text{C}$ in $x = 0{,}5\ \text{m}$;
• $q_3 = +5\ \mu\text{C}$ in $x = 1{,}0\ \text{m}$.

Calcola il campo elettrico nei punti $A$ in $x = 0{,}25\ \text{m}$ e $B$ in $x = 0{,}75\ \text{m}$. Quale ha modulo maggiore?

Soluzione

Impostazione. Il campo totale è la somma vettoriale (principio di sovrapposizione) dei tre contributi $E_i = \dfrac{k\,\abs{q_i}}{r_i^2}$. Su un asse basta gestire i segni: prendiamo positivo il verso $+x$. Il campo di una carica positiva punta lontano da essa, quello di una carica negativa punta verso di essa. Uso $k = 9\cdot 10^9$.

Punto A ($x = 0{,}25$ m). Distanze: $r_1 = 0{,}25$, $r_2 = 0{,}25$, $r_3 = 0{,}75$. $\begin{aligned} E_1 &= \frac{(9\cdot 10^9)(2\cdot 10^{-6})}{0{,}25^2} = +2{,}88\cdot 10^5 \ (\text{da } q_1^+,\ \text{verso } +x) \\ E_2 &= \frac{(9\cdot 10^9)(3\cdot 10^{-6})}{0{,}25^2} = +4{,}32\cdot 10^5 \ (\text{verso } q_2^-\ \text{a destra},\ +x) \\ E_3 &= \frac{(9\cdot 10^9)(5\cdot 10^{-6})}{0{,}75^2} = -0{,}80\cdot 10^5 \ (\text{da } q_3^+,\ \text{verso } -x) \end{aligned}$ $E_A = (2{,}88 + 4{,}32 - 0{,}80)\cdot 10^5 \implies \ev{E_A \approx 6{,}4\cdot 10^5 \ \text{N/C} \ (\text{verso } +x)}$

Punto B ($x = 0{,}75$ m). Distanze: $r_1 = 0{,}75$, $r_2 = 0{,}25$, $r_3 = 0{,}25$. $\begin{aligned} E_1 &= \frac{(9\cdot 10^9)(2\cdot 10^{-6})}{0{,}75^2} = +0{,}32\cdot 10^5 \ (\text{da } q_1^+,\ \text{verso } +x) \\ E_2 &= \frac{(9\cdot 10^9)(3\cdot 10^{-6})}{0{,}25^2} = -4{,}32\cdot 10^5 \ (\text{verso } q_2^-\ \text{a sinistra},\ -x) \\ E_3 &= \frac{(9\cdot 10^9)(5\cdot 10^{-6})}{0{,}25^2} = -7{,}20\cdot 10^5 \ (\text{da } q_3^+,\ \text{verso } -x) \end{aligned}$ In B sia $q_2$ (attrae verso sinistra) sia $q_3$ (respinge verso sinistra) puntano nello stesso verso $-x$, quindi si sommano: $E_B = (0{,}32 - 4{,}32 - 7{,}20)\cdot 10^5 \implies \ev{E_B \approx -1{,}1\cdot 10^6 \ \text{N/C} \ (\text{verso } -x)}$

Confronto. $\abs{E_B} \approx 1{,}1\cdot 10^6 > \abs{E_A} \approx 6{,}4\cdot 10^5$: il campo è maggiore in B, perché lì i contributi della carica negativa $q_2$ e della grande carica positiva $q_3$ (entrambe vicine, a $0{,}25$ m) concordano in direzione, mentre in A tendono in parte a compensarsi.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Sfera carica