Fantafisica — elettrostatica in 2D

Testo

Fantafisica: elettrostatica in 2D. In un universo a 2 dimensioni spaziali, come varierebbe il campo elettrico di una carica puntiforme con la distanza? E il potenziale? Si può ancora fissare $V=0$ all’infinito? Suggerimento: nel caso 2D la “superficie” gaussiana è una circonferenza di perimetro $2\pi r$.

Soluzione

Campo elettrico. In tre dimensioni il teorema di Gauss si applica su una sfera di area $4\pi r^2$, e da $E\cdot 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$ segue il familiare $E\propto 1/r^2$. In due dimensioni la superficie gaussiana degenera in una circonferenza di “perimetro” $2\pi r$, che gioca il ruolo dell’area. Il flavore bidimensionale del teorema di Gauss dà quindi: $E\cdot 2\pi r = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}.$ Il campo decade come $\ev{E \propto 1/r}$, non più come $1/r^2$. È esattamente lo stesso andamento del campo di un filo rettilineo infinito nel nostro mondo 3D: un punto in 2D “è” un filo visto lungo la terza dimensione soppressa.

Potenziale. Il potenziale si ottiene integrando il campo: $V(r) = -\int E\,\dd r = -\frac{q}{2\pi\varepsilon_0}\int \frac{\dd r}{r} = -\frac{q}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln r + \text{cost}.$ Quindi $\ev{V \propto -\ln r}$: un potenziale logaritmico, non più $\propto 1/r$.

Riferimento all’infinito. Il logaritmo diverge quando $r\to\infty$: non tende a un valore finito. Non è quindi possibile fissare la costante imponendo $V=0$ all’infinito, come si fa in 3D. Bisogna scegliere un raggio di riferimento arbitrario $r_0$ e porre $V(r_0)=0$, ottenendo $\ev{V(r) = -\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}}$. La sparizione del riferimento naturale all’infinito è la conseguenza fisica più notevole del passaggio a due dimensioni.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Potenziale elettrico Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Filo rettilineo infinito