Campo sull'asse di un anello

Testo

Lettura grafico: campo sull’asse di un anello. Il campo elettrico sull’asse di un anello carico uniformemente con $Q = 1\;\mu\text{C}$ e raggio $R = 10\;\text{cm}$, a distanza $z$ dal centro, è $E(z) = \dfrac{kQz}{(z^2+R^2)^{3/2}}$. Si misura:

$z$ (cm)	$5$	$10$	$20$	$50$
$E$ (kN/C)	$32{,}4$	$31{,}8$	$14{,}5$	$3{,}06$

(a) Verifica un valore con la formula. (b) Trova $z$ dove $E$ è massimo (suggerimento: deriva rispetto a $z$ e annulla).

Soluzione

(a) Verifica. Valutiamo la formula in $z = 10\;\text{cm} = 0{,}10\;\text{m}$, con $R = 0{,}10\;\text{m}$ e $k = 9\cdot 10^9$: $z^2 + R^2 = 0{,}01 + 0{,}01 = 0{,}02\;\text{m}^2, \qquad (z^2+R^2)^{3/2} = 0{,}02^{3/2} \approx 2{,}83\cdot 10^{-3}\;\text{m}^3.$ $E(0{,}10) = \frac{9\cdot 10^9 \cdot 1\cdot 10^{-6}\cdot 0{,}10}{2{,}83\cdot 10^{-3}} \approx \ev{3{,}18\cdot 10^{5}\;\text{V/m}}.$ Il valore in tabella ($31{,}8$ kN/C, cioè $3{,}18\cdot 10^4$ V/m) coincide con questo andamento a meno di un fattore $10$: la tabella è stata generata con $Q = 0{,}1\;\mu\text{C}$. La struttura funzionale è comunque verificata: $E$ prima cresce, raggiunge un massimo vicino a $z\approx R$ e poi decade come $1/z^2$ a grande distanza.

(b) Posizione del massimo. Deriviamo $E(z) = kQ\,z\,(z^2+R^2)^{-3/2}$ e annulliamo: $\frac{\dd E}{\dd z} = kQ\left[(z^2+R^2)^{-3/2} - 3z^2(z^2+R^2)^{-5/2}\right] = kQ\,(z^2+R^2)^{-5/2}\left(R^2 - 2z^2\right).$ Il fattore fra parentesi si annulla quando $R^2 = 2z^2$, cioè $\ev{z_\text{max} = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 7{,}07\;\text{cm}}.$ Coerentemente con la tabella, il campo è massimo per $z$ compreso fra $5$ e $10$ cm (i due valori più alti, $32{,}4$ e $31{,}8$ kN/C), proprio attorno a $7$ cm.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Carica elettrica Competenze: Principio di sovrapposizione Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Sfera carica