Campo di un cubo carico

Testo

Sfida: campo di un cubo carico. Una carica $Q$ è distribuita uniformemente sulla superficie esterna di un cubo di lato $L$. Senza usare formule chiuse, ragiona sulla simmetria del flusso del campo elettrico attraverso le facce del cubo. Quale frazione del flusso totale attraversa ciascuna faccia? Perché? Il campo è uniforme sulla singola faccia?

Soluzione

Flusso totale. Racchiudiamo il cubo in una superficie gaussiana (il cubo stesso). Il teorema di Gauss fissa il flusso totale uscente, indipendentemente dalla forma: $\Phi_\text{tot} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.$

Frazione per faccia. Un cubo ha sei facce geometricamente equivalenti: nessuna è privilegiata rispetto alle altre (simmetria del cubo, che manda ogni faccia in ogni altra). Poiché la carica è distribuita uniformemente, il flusso deve ripartirsi in parti uguali fra le sei facce: $\ev{\Phi_\text{faccia} = \frac{\Phi_\text{tot}}{6} = \frac{Q}{6\varepsilon_0}}.$ Questo è un argomento di pura simmetria: non serve conoscere la forma dettagliata del campo, basta che le sei facce siano intercambiabili.

Il campo è uniforme sulla faccia? No. Anche se il flusso attraverso ciascuna faccia è lo stesso, il campo non è costante punto per punto: vicino agli spigoli e ai vertici del cubo le linee di campo si addensano (effetto punta), mentre al centro di ogni faccia il campo è più debole. La distribuzione della carica su un conduttore cubico non è uniforme, e nemmeno lo è il campo appena fuori. La simmetria garantisce l’uguaglianza del flusso totale per faccia, non l’uniformità locale — questa è la ragione per cui non esiste una formula chiusa semplice come quella della sfera.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss · Campo elettrico Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Piano infinito carico