Dall'energia accumulata alla tensione

Testo

Inverso: dall’energia accumulata alla tensione. Un condensatore con $C = 50\;\mu\text{F}$ contiene energia $U = 1{,}25\;\text{J}$. Calcola: (a) tensione fra le armature; (b) carica totale; (c) tensione massima sostenibile se il dielettrico ha rigidità $E_\text{max} = 10\;\text{kV/mm}$ e spessore $d = 0{,}5\;\text{mm}$. Si sta sfruttando bene il dispositivo?

Soluzione

(a) Tensione. Da $U = \tfrac{1}{2}CV^2$ ricaviamo $V$: $V = \sqrt{\frac{2U}{C}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}25}{50\cdot 10^{-6}}} = \sqrt{5{,}0\cdot 10^{4}} \approx \ev{V \approx 224\;\text{V}}.$

(b) Carica. $Q = CV = 50\cdot 10^{-6}\cdot 224 \approx \ev{Q \approx 11{,}2\;\text{mC}}.$

(c) Tensione massima. La differenza di potenziale non deve mai superare quella che porta il campo alla rigidità dielettrica: $V_\text{max} = E_\text{max}\,d = 10\;\text{kV/mm}\cdot 0{,}5\;\text{mm} = \ev{V_\text{max} = 5000\;\text{V}}.$

Sfruttamento. Il condensatore lavora a soli $224$ V contro i $5000$ V che potrebbe sostenere: usa meno del $5\%$ della tensione massima. Poiché l’energia cresce come $V^2$, alla tensione limite immagazzinerebbe $U_\text{max} = \tfrac{1}{2}C V_\text{max}^2 \approx 625$ J, cioè circa $500$ volte l’energia attuale. Il dispositivo è quindi ampiamente sottoutilizzato: c’è un enorme margine prima del cedimento del dielettrico.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Densità di energia del campo Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Condensatore piano