Due condensatori carichi collegati

Testo

Sintesi: due condensatori carichi che si collegano. Due condensatori isolati: $C_1 = 10\;\mu\text{F}$ caricato a $V_1 = 200\;\text{V}$ e $C_2 = 30\;\mu\text{F}$ caricato a $V_2 = 100\;\text{V}$, con la stessa polarità. Li si collega in parallelo (armatura positiva con positiva). (a) Carica totale prima del collegamento; (b) tensione comune dopo l’equilibrio; (c) energia prima e dopo. Spiega perché l’energia non si conserva: dove va a finire?

Soluzione

(a) Carica totale. Le cariche iniziali si sommano (stessa polarità): $Q_1 = C_1 V_1 = 2\;\text{mC}, \qquad Q_2 = C_2 V_2 = 3\;\text{mC},$ $\ev{Q_\text{tot} = Q_1 + Q_2 = 5\;\text{mC}}.$ La carica totale è conservata: non può sparire né crearsi nel collegamento.

(b) Tensione comune. In parallelo i due condensatori condividono la stessa tensione; la capacità equivalente è $C_\text{eq} = C_1 + C_2 = 40\;\mu\text{F}$, quindi $V_\text{eq} = \frac{Q_\text{tot}}{C_\text{eq}} = \frac{5\cdot 10^{-3}}{40\cdot 10^{-6}} = \ev{V_\text{eq} = 125\;\text{V}}.$

(c) Energia prima e dopo. $U_\text{pre} = \tfrac{1}{2}C_1 V_1^2 + \tfrac{1}{2}C_2 V_2^2 = 0{,}20 + 0{,}15 = \ev{U_\text{pre} = 0{,}35\;\text{J}},$ $U_\text{post} = \tfrac{1}{2}C_\text{eq} V_\text{eq}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 40\cdot 10^{-6}\cdot 125^2 \approx \ev{U_\text{post} \approx 0{,}31\;\text{J}}.$

Perché l’energia non si conserva. Mancano circa $0{,}04$ J ($\sim 11\%$). La carica si conserva sempre, ma l’energia no: durante il transitorio di collegamento le due tensioni sono diverse, quindi scorre una corrente attraverso i fili di connessione (che hanno una resistenza, anche piccola). Questa corrente dissipa energia per effetto Joule nei fili, e in parte la irradia come onde elettromagnetiche. È un risultato generale: collegare due condensatori a tensioni diverse comporta sempre una perdita di energia, indipendentemente da quanto piccola sia la resistenza.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Densità di energia del campo Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Semplificazione serie-parallelo Oggetti: Condensatore piano