Fantafisica — protoni con massa doppia

Testo

Fantafisica: protoni con massa doppia. Immagina che la massa del protone fosse improvvisamente doppia. Cosa cambierebbe per: (a) l’inerzia degli atomi, (b) la velocità termica del gas, (c) l’orbita di Bohr dell’idrogeno (che dipende dalla massa ridotta $\mu = m_e m_p/(m_e+m_p)$)? La chimica subirebbe stravolgimenti?

Soluzione

(a) Inerzia degli atomi. Quasi tutta la massa di un atomo sta nel nucleo (i protoni e neutroni pesano $\sim 1836$ volte l’elettrone). Raddoppiando $m_p$, la massa di ogni nucleo — e quindi di ogni atomo — circa raddoppia. Gli atomi diventano più inerti: a parità di forza accelerano meno.

(b) Velocità termica. L’energia cinetica media di agitazione termica dipende solo dalla temperatura: $\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$. Da qui $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$. Se la massa raddoppia a $T$ fissa, la velocità termica si riduce di un fattore $\sqrt{2}$: $\ev{v_\text{rms} \to \frac{v_\text{rms}}{\sqrt{2}}}.$ I gas sono più lenti: diffusione, velocità del suono e velocità di fuga molecolare calano tutte di $\sqrt{2}$.

(c) Orbita di Bohr. Il raggio e i livelli energetici dell’idrogeno dipendono dalla massa ridotta $\mu = m_e m_p/(m_e + m_p)$. Poiché $m_p \gg m_e$, si ha $\mu \approx m_e$ già ora, e raddoppiare $m_p$ la cambia solo di una quantità minuscola: $\mu = \frac{m_e}{1 + m_e/m_p} \approx m_e\left(1 - \frac{m_e}{m_p}\right),$ con $m_e/m_p \approx 1/1836$. Raddoppiando $m_p$ la correzione passa da $\sim 0{,}054\%$ a $\sim 0{,}027\%$: uno spostamento infinitesimo dei livelli energetici e delle righe spettrali. Il raggio di Bohr resta praticamente invariato.

Chimica. La chimica è governata dalla struttura elettronica, che dipende da $\mu \approx m_e$: quindi non subirebbe stravolgimenti. Legami, geometrie molecolari ed energie di reazione resterebbero quasi identici. Cambierebbero solo gli aspetti dinamici legati alla massa nucleare (velocità di reazione, effetti isotopici, frequenze vibrazionali $\propto 1/\sqrt{m}$), esattamente come accade sostituendo l’idrogeno col suo isotopo pesante, il deuterio.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Carica elettrica Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Atomo di idrogeno