Caricamento di un condensatore

Testo

Lettura grafico: caricamento di un condensatore. Si misura la tensione $V_C(t)$ su un condensatore in carica attraverso un resistore:

$t$ (s)	$0$	$1$	$3$	$10$
$V_C$ (V)	$0$	$6{,}3$	$9{,}5$	$10{,}0$

Sapendo che $V_C(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$, determina $V_0$ (tensione di batteria) e $\tau$ (costante di tempo $RC$). Suggerimento: $1 - e^{-1} \approx 0{,}63$.

Soluzione

Tensione di batteria $V_0$. Per $t\to\infty$ l’esponenziale svanisce e $V_C \to V_0$: il condensatore si carica fino alla tensione del generatore. Dalla tabella, a $t = 10$ s la tensione si è stabilizzata a $10{,}0$ V (il valore non cresce più), quindi $\ev{V_0 \approx 10\;\text{V}}.$

Costante di tempo $\tau$. La costante di tempo è, per definizione, l’istante in cui il condensatore raggiunge una frazione $1 - e^{-1} \approx 0{,}63$ del valore finale: $V_C(\tau) = V_0(1 - e^{-1}) \approx 0{,}63\,V_0 = 0{,}63\cdot 10 = 6{,}3\;\text{V}.$ La tabella mostra esattamente $V_C = 6{,}3$ V a $t = 1$ s. Quindi $\ev{\tau = RC \approx 1\;\text{s}}.$

Verifica. Controlliamo il punto a $t = 3$ s $= 3\tau$: $V_C = 10\,(1 - e^{-3}) = 10\,(1 - 0{,}050) = 9{,}5$ V, in perfetto accordo con la tabella. Dopo $\sim 3$ costanti di tempo il condensatore è al $95\%$ della carica; dopo $\sim 5\tau$ è praticamente carico. Questo è il comportamento universale della carica $RC$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Densità di energia del campo Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Condensatore piano