Capacità di un condensatore cilindrico

Testo

Sfida: capacità di un condensatore cilindrico. Un condensatore cilindrico ha due armature coassiali di raggi $r_a = 1\;\text{mm}$ (interna) e $r_b = 5\;\text{mm}$ (esterna), lunghezza $L = 0{,}3\;\text{m}$. Calcola la capacità integrando $\vec E$ ricavato col teorema di Gauss su un cilindro coassiale. Geometria tipica del cavo coassiale.

Soluzione

Campo fra le armature (teorema di Gauss). Poniamo carica $+Q$ sull’armatura interna, con densità lineare $\lambda = Q/L$. Come superficie gaussiana scegliamo un cilindro coassiale di raggio $r$ (con $r_a < r < r_b$) e lunghezza $L$. Per simmetria il campo è radiale e uniforme sulla superficie laterale; le basi non contribuiscono al flusso. Quindi: $E\cdot 2\pi r L = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\,\frac{1}{r}.$

Differenza di potenziale (integrazione). Integriamo il campo dall’armatura interna a quella esterna: $V = \int_{r_a}^{r_b} E\,\dd r = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\int_{r_a}^{r_b}\frac{\dd r}{r} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\frac{r_b}{r_a}.$

Capacità. Per definizione $C = Q/V$, e la carica $Q$ si semplifica: $C = \frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(r_b/r_a)}.$

Calcolo numerico. Con $r_b/r_a = 5$ e $\ln 5 \approx 1{,}609$: $C = \frac{2\pi\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot 0{,}3}{1{,}609} = \frac{1{,}668\cdot 10^{-11}}{1{,}609} \approx \ev{C \approx 10{,}4\;\text{pF}}.$ Un valore piccolo (dell’ordine dei picofarad), tipico di uno spezzone di cavo coassiale: la capacità cresce con la lunghezza $L$ e diminuisce logaritmicamente all’aumentare del rapporto fra i raggi.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Filo rettilineo infinito