Verifica dimensionale della densità di energia

Testo

Partendo da $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ e da $E$ in V/m, verifica dimensionalmente che la quantità $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ ha effettivamente le unità di un’energia per unità di volume. Sfrutta le relazioni $1\;\text{V} = 1\;\text{J/C}$ e $1\;\text{N}\cdot\text{m} = 1\;\text{J}$.

Soluzione

Unità dei fattori. Il fattore numerico $\tfrac12$ è adimensionale, quindi le unità di $u$ sono il prodotto delle unità di $\varepsilon_0$ e di $E^2$: $[\varepsilon_0] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}, \qquad [E^2] = \left(\frac{\text{V}}{\text{m}}\right)^2 = \frac{\text{V}^2}{\text{m}^2}$

Prodotto. $[u] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}\cdot\frac{\text{V}^2}{\text{m}^2} = \frac{\text{C}^2\,\text{V}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^4}$

Sostituzione $1\;\text{V} = 1\;\text{J/C}$. Così $\text{C}^2\,\text{V}^2 = \text{C}^2\cdot(\text{J/C})^2 = \text{J}^2$: $[u] = \frac{\text{J}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^4}$

Sostituzione $1\;\text{J} = 1\;\text{N}\cdot\text{m}$. Uno dei due joule al numeratore si scrive $\text{N}\cdot\text{m}$: $[u] = \frac{\text{J}\cdot(\text{N}\cdot\text{m})}{\text{N}\cdot\text{m}^4} = \frac{\text{J}\cdot\text{N}\cdot\text{m}}{\text{N}\cdot\text{m}^4} = \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$

Risultato. $\ev{[u] = \text{J/m}^3}$

La quantità $\tfrac12\varepsilon_0 E^2$ ha effettivamente le dimensioni di un’energia per unità di volume: è una densità di energia.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo