Problema — ponte di Wheatstone, resistenza incognita

Testo

In un ponte di Wheatstone i bracci noti valgono $R_1 = 100\ \Omega$, $R_2 = 200\ \Omega$, $R_3 = 300\ \Omega$; il galvanometro segnala zero quando il quarto braccio contiene la resistenza incognita $R_x$. Determina $R_x$ e spiega perché il valore trovato non dipende dalla tensione di alimentazione del ponte.

Schema: ponte a quattro bracci $R_1,R_2$ (in alto), $R_3,R_x$ (in basso); galvanometro G sulla diagonale, generatore $\mathcal{E}$ sull’altra.

Soluzione

Condizione di equilibrio. Il galvanometro segna zero quando i due nodi centrali sono allo stesso potenziale: nessuna corrente attraversa il ramo del galvanometro. All’equilibrio i due partitori (ramo superiore $R_2$–$R_1$ e ramo inferiore $R_3$–$R_x$) hanno lo stesso rapporto, cioè i prodotti dei bracci opposti sono uguali: $R_1 R_3 = R_2 R_x \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{R_2}{R_1} = \frac{R_3}{R_x}$

Ricavando l’incognita: $R_x = \frac{R_1 R_3}{R_2} = \frac{100 \cdot 300}{200} = 150\ \Omega$

Perché non dipende dalla tensione. All’equilibrio conta solo l’uguaglianza dei rapporti fra le resistenze: la corrente nel galvanometro è nulla per qualunque valore di $\mathcal{E}$. Cambiare la tensione di alimentazione scala tutte le correnti nei bracci dello stesso fattore, ma lascia invariata la condizione $R_1 R_x = R_2 R_3$. Il ponte è quindi un metodo di misura per confronto, insensibile alla stabilità dell’alimentatore.

$\ev{R_x = 150\ \Omega}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo