Problema — resistenza di una scala infinita

Testo

Una scala infinita è costituita da celle identiche: ogni cella ha una resistenza $R$ in serie seguita da una resistenza $2R$ in parallelo verso la cella successiva. Usando il principio di autosomiglianza, scrivi l’equazione soddisfatta dalla resistenza equivalente $R_\infty$ vista dai terminali d’ingresso, risolvila e verifica il segno scegliendo la radice fisicamente accettabile.

Schema: catena di celle identiche ($R$ in serie, $2R$ in parallelo verso destra) che prosegue all’infinito.

Soluzione

Autosomiglianza. Una scala infinita resta identica a sé stessa se le si toglie la prima cella: ciò che si vede a valle della prima cella è ancora una scala infinita, con la stessa resistenza $R_\infty$. Quindi $R_\infty$ è data da: $R$ in serie con il parallelo fra $2R$ e $R_\infty$ stessa: $R_\infty = R + \frac{2R\,R_\infty}{2R + R_\infty}$

Risoluzione. Moltiplico per $(2R + R_\infty)$: $R_\infty(2R + R_\infty) = R(2R + R_\infty) + 2R\,R_\infty$ $2R\,R_\infty + R_\infty^2 = 2R^2 + R\,R_\infty + 2R\,R_\infty$ $R_\infty^2 - R\,R_\infty - 2R^2 = 0$

Risolvendo l’equazione di secondo grado in $R_\infty$: $R_\infty = \frac{R \pm \sqrt{R^2 + 8R^2}}{2} = \frac{R \pm 3R}{2}$ Le due radici sono $R_\infty = 2R$ e $R_\infty = -R$.

Scelta fisica. Una resistenza deve essere positiva: la radice $-R$ è priva di senso fisico e va scartata. Resta $\ev{R_\infty = 2R}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica