Problema — tre lampadine A, B, C

Testo

Tre lampadine. Una batteria ideale $\mathcal{E} = 6{,}0\ \text{V}$ alimenta tre lampadine identiche di resistenza $R = 12\ \Omega$ come in figura: le lampadine A e B in parallelo, il gruppo A$\parallel$B in parallelo con C (dunque le tre lampadine sono tutte in parallelo sulla batteria).

Schema: le tre lampadine A, B, C sono tre rami in parallelo fra gli stessi due nodi, alimentati dalla batteria $\mathcal{E}$.

(a) Calcola la resistenza equivalente. (b) Se la lampadina B si brucia (circuito aperto), la luminosità di A aumenta, diminuisce o resta uguale? E quella di C? (c) Se invece si brucia C, cosa succede ad A e B? Rispondi prima con ragionamento, poi verifica con i calcoli.

Soluzione

(a) Resistenza equivalente. Le tre lampadine identiche sono in parallelo: $\frac{1}{R_\text{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R} \;\Rightarrow\; R_\text{eq} = \frac{R}{3} = \frac{12}{3} = 4{,}0\ \Omega$ Corrente totale erogata: $i_\text{tot} = \mathcal{E}/R_\text{eq} = 6{,}0/4{,}0 = 1{,}5\ \text{A}$.

(b) e (c) Ragionamento. La batteria è ideale: mantiene $\mathcal{E} = 6{,}0\ \text{V}$ ai capi del parallelo qualunque cosa accada agli altri rami. Ogni lampadina vede sempre gli stessi $6{,}0\ \text{V}$, in modo indipendente dalle altre. Quindi:

• Se B si brucia: A e C restano uguali (vedono ancora $6{,}0\ \text{V}$); cala solo la corrente totale erogata.
• Se C si brucia: A e B restano uguali, per lo stesso motivo.

In un parallelo su generatore ideale, spegnere un ramo non altera gli altri.

Verifica coi calcoli. Ogni lampadina, sottoposta a $6{,}0\ \text{V}$: $i_A = i_B = i_C = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{6{,}0}{12} = 0{,}5\ \text{A}$ La corrente in ciascun ramo dipende solo da $\mathcal{E}$ e $R$ di quel ramo, non dagli altri: togliendone uno gli altri mantengono $0{,}5\ \text{A}$ e quindi la stessa luminosità. La corrente totale invece scende da $3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{A}$ a $2 \cdot 0{,}5 = 1{,}0\ \text{A}$.

$\ev{R_\text{eq} = 4{,}0\ \Omega \quad i_\text{tot} = 1{,}5\ \text{A} \quad i_A=i_B=i_C=0{,}5\ \text{A}\;;\quad \text{gli altri rami restano invariati}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo