Problema — caratteristica di una pila reale

Testo

Caratteristica di una pila reale. La figura mostra la tensione ai morsetti di una pila in funzione della corrente erogata.

La tensione ai morsetti cala linearmente al crescere della corrente erogata.

(a) Scrivi l’equazione $V_\text{mors}(i) = \mathcal{E} - r\,i$. (b) Ricava $\mathcal{E}$ dall’intercetta con l’asse verticale. (c) Ricava la resistenza interna $r$ dalla pendenza. (d) A quale corrente la pila si cortocircuiterebbe secondo questo modello? Commenta.

Soluzione

(a) Modello. Una pila reale è una FEM $\mathcal{E}$ in serie a una resistenza interna $r$. La tensione ai morsetti è la FEM meno la caduta interna: $V_\text{mors}(i) = \mathcal{E} - r\,i$ È una retta decrescente in $i$: intercetta $\mathcal{E}$, pendenza $-r$.

(b) FEM dall’intercetta. A corrente nulla ($i = 0$) non c’è caduta interna: $V_\text{mors}(0) = \mathcal{E}$. Dal grafico l’intercetta con l’asse verticale è a $1{,}5\ \text{V}$: $\mathcal{E} = 1{,}5\ \text{V}$

(c) Resistenza interna dalla pendenza. La retta scende da $1{,}5\ \text{V}$ (a $i=0$) a $0{,}75\ \text{V}$ (a $i = 5\ \text{A}$): $r = -\frac{\Delta V}{\Delta i} = -\frac{0{,}75 - 1{,}5}{5 - 0} = \frac{0{,}75}{5} = 0{,}15\ \Omega$

(d) Corrente di cortocircuito. In cortocircuito la tensione ai morsetti è nulla ($V_\text{mors} = 0$): il modello dà $0 = \mathcal{E} - r\,i_\text{cc} \;\Rightarrow\; i_\text{cc} = \frac{\mathcal{E}}{r} = \frac{1{,}5}{0{,}15} = 10\ \text{A}$ Commento: è la massima corrente prevista dal modello lineare. Una pila reale non la sostiene a lungo (la resistenza interna aumenta col riscaldamento e la scarica, e la caratteristica cessa di essere lineare per correnti elevate); serve però a capire perché cortocircuitare una pila la scalda e la rovina.

$\ev{\mathcal{E} = 1{,}5\ \text{V} \qquad r \approx 0{,}15\ \Omega \qquad i_\text{cc} = 10\ \text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Forza elettromotrice Competenze: Lettura dei grafici