Problema — quale grafico per un circuito RC

Testo

Quale grafico per un RC? Un resistore $R$ e un condensatore $C$ inizialmente scarico sono collegati alla batteria $\mathcal{E}$ all’istante $t = 0$. Fra i grafici seguenti quale rappresenta correttamente la corrente $i(t)$ nel circuito?

A: corrente costante. B: decadimento esponenziale. C: crescita esponenziale.

(a) Identifica la risposta giusta. (b) Cosa rappresenta il grafico escluso? (c) Come cambia il grafico giusto se $R$ raddoppia? E se raddoppia $C$?

Soluzione

(a) Risposta: grafico B (decadimento esponenziale). All’istante $t = 0$ il condensatore è scarico e si comporta come un cortocircuito: la corrente parte dal massimo $i_0 = \mathcal{E}/R$. Man mano che $C$ si carica, la sua tensione cresce e si oppone alla batteria, così la corrente cala. A regime il condensatore è carico ($V_C = \mathcal{E}$) e la corrente si annulla. L’andamento è $i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\,e^{-t/RC}$ cioè un decadimento esponenziale da $\mathcal{E}/R$ a $0$: proprio il grafico B.

(b) I grafici esclusi.

• A (costante): sarebbe la corrente in un circuito puramente resistivo (senza condensatore), oppure il caso stazionario di un induttore — non un RC in carica.
• C (crescita esponenziale): descrive invece la carica $q(t)$ o la tensione $V_C(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ sul condensatore, che parte da zero e satura. È la grandezza complementare alla corrente, non la corrente.

(c) Effetto di $R$ e $C$. La costante di tempo è $\tau = RC$.

• Se $R$ raddoppia: $\tau$ raddoppia (decadimento più lento) e la corrente iniziale $i_0 = \mathcal{E}/R$ si dimezza: la curva parte più bassa e scende più dolcemente.
• Se $C$ raddoppia: $\tau$ raddoppia (decadimento più lento) ma la corrente iniziale $i_0 = \mathcal{E}/R$ non cambia: la curva parte dallo stesso punto ma scende più lentamente.

$\ev{\text{grafico B: } i(t) = (\mathcal{E}/R)\,e^{-t/RC}}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Circuito RC Competenze: Lettura dei grafici