Problema — tempo di ebollizione di un bollitore

Testo

Tempo di ebollizione (Povey 2015, §9.7). Un bollitore elettrico assorbe potenza $P$ dalla rete e impiega un tempo $\tau$ per portare a ebollizione un litro d’acqua, partendo da $20\ ^\circ\text{C}$. Un altro modello, di marca diversa, ha la resistenza interna $R'$ metà di quella del primo, ma viene collegato alla stessa rete. Senza fare conti numerici, prevedi il tempo $\tau'$ del secondo bollitore (in funzione di $\tau$), trascurando le perdite verso l’ambiente. Discuti che cosa cambia se le perdite verso l’ambiente non sono trascurabili.

Soluzione

Impostazione. Entrambi i bollitori sono collegati alla stessa tensione di rete $V$. La potenza dissipata per effetto Joule a tensione fissata è $P = \frac{V^2}{R}$ quindi dimezzare la resistenza raddoppia la potenza: $P' = V^2/R' = V^2/(R/2) = 2P$.

Caso ideale (perdite trascurabili). L’energia da fornire per scaldare lo stesso litro d’acqua dello stesso $\Delta T$ è la stessa: $E = m c \,\Delta T$. Il tempo è energia diviso potenza: $\tau' = \frac{E}{P'} = \frac{E}{2P} = \frac{1}{2}\,\frac{E}{P} = \frac{\tau}{2}$ Il secondo bollitore, più potente, ci mette metà tempo.

Con perdite non trascurabili. Mentre l’acqua scalda, una parte del calore si disperde nell’ambiente a un ritmo che dipende soprattutto dalla differenza di temperatura, non dalla potenza del bollitore. Il bollitore più potente scalda più in fretta, quindi resta acceso per meno tempo: c’è meno tempo perché il calore si disperda, e la frazione di energia “sprecata” verso l’ambiente è minore. Di conseguenza il secondo bollitore è un po’ più efficiente e $\tau' > \frac{\tau}{2}$ (il rapporto resta comunque migliore per il modello più potente). In breve: vincono i tempi “utili” di riscaldamento rapido rispetto ai tempi “dispersi”.

$\ev{\tau' = \tau/2 \text{ (senza perdite)}\;;\quad \tau' > \tau/2 \text{ (con perdite)}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Effetto Joule Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica