Problema — catena in serie con lampadine diverse

Testo

Tre lampadine sono collegate in serie a una batteria $V = 42\ \text{V}$: $L_1$ ($V_\text{nom} = 6\ \text{V}$, $R_1 = 60\ \Omega$), $L_2$ ($V_\text{nom} = 12\ \text{V}$, $R_2 = 30\ \Omega$), $L_3$ ($V_\text{nom} = 24\ \text{V}$, $R_3 = 120\ \Omega$). Ordina le lampadine per la tensione effettiva ai loro capi e individua quale si brucia per prima.

Soluzione

Corrente nella catena — in serie la corrente è la stessa; la resistenza totale è $R_\text{tot} = R_1 + R_2 + R_3 = 60 + 30 + 120 = 210\ \Omega$ $i = \frac{V}{R_\text{tot}} = \frac{42\ \text{V}}{210\ \Omega} = 0{,}20\ \text{A}$

Tensione effettiva ai capi di ciascuna ($V_k = i\,R_k$): $V_1 = 0{,}20 \cdot 60 = 12\ \text{V}, \quad V_2 = 0{,}20 \cdot 30 = 6\ \text{V}, \quad V_3 = 0{,}20 \cdot 120 = 24\ \text{V}$

Ordinamento per tensione effettiva: $V_3 (24\ \text{V}) > V_1 (12\ \text{V}) > V_2 (6\ \text{V})$.

Quale si brucia per prima — non conta la tensione assoluta, ma il rapporto fra tensione effettiva e nominale (il sovraccarico relativo): $L_1:\ \frac{V_1}{V_{1,\text{nom}}} = \frac{12}{6} = 2 \qquad L_2:\ \frac{6}{12} = 0{,}5 \qquad L_3:\ \frac{24}{24} = 1$

$L_1$ lavora a doppio della sua tensione nominale. In termini di potenza rispetto alla nominale, $P \propto V^2$ a $R$ fissato dà per $L_1$ un fattore $2^2 = 4$: dissipa quattro volte la potenza per cui è progettata. $L_1$ è la più sollecitata e si brucia per prima; $L_3$ lavora esattamente al nominale, $L_2$ è addirittura sottoalimentata.

$\ev{V_3 > V_1 > V_2;\quad L_1 \text{ si brucia per prima (a } 2\times V_\text{nom})}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Ragionamento di ranking