Esercizio svolto — potenze assegnate a tre resistori in parallelo

Testo

Tre resistori $R_1$, $R_2$, $R_3$ sono collegati in parallelo a un generatore $\mathcal{E} = 20\;\text{V}$. Si vuole che la potenza totale sia $P_{\text{tot}} = 10\;\text{W}$ e che $P_2 = 2P_1$ e $P_3 = 3P_1$. Trovare $R_1$, $R_2$, $R_3$.

Tre resistori in parallelo: ognuno vede la stessa tensione $\mathcal{E}$.

Soluzione

Passo 1 — corrente principale. Dal bilancio energetico $P_{\text{tot}} = \mathcal{E}\,i_0$: $i_0 = \frac{P_{\text{tot}}}{\mathcal{E}} = \frac{10}{20} = 0{,}5\;\text{A}$

Passo 2 — potenze singole. Il vincolo $P_1 + P_2 + P_3 = P_1 + 2P_1 + 3P_1 = 6P_1 = 10\;\text{W}$ dà: $P_1 = \frac{5}{3}\;\text{W} \qquad P_2 = \frac{10}{3}\;\text{W} \qquad P_3 = 5\;\text{W}$

Passo 3 — correnti e resistenze. In un parallelo a $\mathcal{E}$ fissa ogni ramo ha $\Delta V = \mathcal{E}$, quindi $P_k = \mathcal{E}\,i_k$: $i_1 = \frac{5/3}{20} = \frac{1}{12}\;\text{A} \quad i_2 = \frac{10/3}{20} = \frac{1}{6}\;\text{A} \quad i_3 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\;\text{A}$ Le resistenze si ricavano da $P_k = R_k\,i_k^2$ (equivalentemente $R_k = \mathcal{E}^2/P_k$): $R_1 = \frac{5/3}{1/144} = 240\;\Omega \qquad R_2 = 120\;\Omega \qquad R_3 = 80\;\Omega$

Verifica: $i_1 + i_2 + i_3 = \tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1+2+3}{12} = \tfrac{1}{2}\;\text{A} = i_0$. Corretto.

$\ev{R_1 = 240\;\Omega,\quad R_2 = 120\;\Omega,\quad R_3 = 80\;\Omega}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza