Problema — Kirchhoff a due maglie

Testo

Due maglie condividono un resistore $R_c = 2\ \Omega$. La maglia 1 contiene una batteria $\mathcal{E}_1 = 9\ \text{V}$ e un resistore $R_1 = 3\ \Omega$; la maglia 2 contiene una batteria $\mathcal{E}_2 = 6\ \text{V}$ e un resistore $R_2 = 4\ \Omega$. Le polarità sono orientate verso il nodo comune. Determina le correnti $I_1$ e $I_2$ nelle due maglie.

Le due maglie condividono il resistore centrale $R_c$ fra i nodi $A$ e $B$.

Soluzione

Impostazione — chiamo $I_1$ la corrente che la maglia 1 spinge verso il nodo comune $A$ e $I_2$ quella spinta dalla maglia 2. Entrambe le batterie sono orientate verso il nodo comune, quindi nel resistore condiviso le due correnti si sommano: per la legge dei nodi la corrente in $R_c$ vale $I_1 + I_2$ (da $A$ verso $B$).

Legge delle maglie — percorrendo ciascuna maglia (batteria $\to$ resistore proprio $\to$ resistore comune): $\mathcal{E}_1 = R_1 I_1 + R_c (I_1 + I_2)$ $\mathcal{E}_2 = R_2 I_2 + R_c (I_1 + I_2)$

Sostituendo i valori ($R_c = 2$): $9 = 3 I_1 + 2(I_1 + I_2) = 5 I_1 + 2 I_2$ $6 = 4 I_2 + 2(I_1 + I_2) = 2 I_1 + 6 I_2$

Risoluzione — moltiplico la prima per $3$ e sottraggo la seconda per eliminare $I_2$: $15 I_1 + 6 I_2 = 27 \quad\Rightarrow\quad (15 - 2) I_1 = 27 - 6 \quad\Rightarrow\quad 13 I_1 = 21$ $I_1 = \frac{21}{13} \approx 1{,}62\ \text{A}$

Dalla prima equazione: $I_2 = \frac{9 - 5 I_1}{2} = \frac{9 - 5\cdot 1{,}615}{2} \approx 0{,}46\ \text{A}$

La corrente nel resistore comune è $I_1 + I_2 \approx 2{,}08\ \text{A}$.

$\ev{I_1 \approx 1{,}62\ \text{A}, \quad I_2 \approx 0{,}46\ \text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Leggi di Kirchhoff Competenze: Applicazione delle leggi di Kirchhoff