Problema — scarica di un condensatore

Testo

Durante la scarica di un condensatore (valore iniziale $V_0 = 10\ \text{V}$) la tensione $V_C(t)$ è stata misurata ai tempi:

$t$ (s)	0	2	4	6	10
$V_C$ (V)	10,0	6,07	3,68	2,23	0,82

(a) Verifica che l’andamento è esponenziale calcolando i rapporti $V_C(t+2)/V_C(t)$. (b) Determina la costante di tempo $\tau = RC$.

Soluzione

(a) Verifica dell’esponenziale — in una scarica $V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}$, il rapporto fra due valori distanti $\Delta t = 2\ \text{s}$ è costante, perché $\frac{V_C(t+2)}{V_C(t)} = \frac{V_0\,e^{-(t+2)/\tau}}{V_0\,e^{-t/\tau}} = e^{-2/\tau}$ indipendente da $t$. Calcoliamo dai dati: $\frac{6{,}07}{10{,}0} = 0{,}607, \quad \frac{3{,}68}{6{,}07} = 0{,}606, \quad \frac{2{,}23}{3{,}68} = 0{,}606$

Il rapporto è costante ($\approx 0{,}607$): l’andamento è esponenziale. ✓

(b) Costante di tempo — dal rapporto costante $e^{-2/\tau} = 0{,}607$, prendo il logaritmo: $-\frac{2}{\tau} = \ln(0{,}607) \approx -0{,}50 \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{2}{0{,}50} = 4\ \text{s}$

Verifica sul punto lontano $t = 10\ \text{s}$: $V_0\,e^{-10/4} = 10\cdot e^{-2{,}5} \approx 10\cdot 0{,}082 = 0{,}82\ \text{V}$, in accordo col dato. ✓

$\ev{\text{andamento esponenziale}; \quad \tau = RC \approx 4\ \text{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Circuito RC Competenze: Lettura dei grafici