Esercizio svolto — scala infinita (R_A=1, R_B=3)

Testo

Una scala infinita (ladder network) è una catena periodica di celle identiche: su ogni cella un resistore $R_A$ in serie sul filo superiore e un resistore $R_B$ in shunt tra i due fili. Con $R_A = 1\;\Omega$ e $R_B = 3\;\Omega$, trovare la resistenza equivalente $Z_\infty$ vista ai terminali d’ingresso.

$R_A$ in serie sul filo superiore, $R_B$ in shunt; la cella si ripete all’infinito.

Soluzione

Trucco dell’autosomiglianza. Aggiungendo una cella la scala resta identica, quindi $Z_\infty$ soddisfa $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty}$ che, moltiplicando per $(R_B + Z_\infty)$ e semplificando, diventa l’equazione di secondo grado $Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A R_B = 0$

Sostituisco i valori $R_A = 1\;\Omega$, $R_B = 3\;\Omega$: $Z_\infty^2 - 1\cdot Z_\infty - 1\cdot 3 = 0 \;\Rightarrow\; Z_\infty^2 - Z_\infty - 3 = 0$

Discriminante e soluzione positiva (l’altra radice è negativa, fisicamente impossibile): $\Delta = 1 + 12 = 13$ $Z_\infty = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 + 3{,}61}{2} \approx 2{,}30\;\Omega$

$\ev{Z_\infty = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30\;\Omega}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica