Esercizio svolto — scala infinita (R_A=2, R_B=4)

Testo

Una scala infinita (ladder network) ha su ogni cella un resistore $R_A$ in serie sul filo superiore e un resistore $R_B$ in shunt tra i due fili. Con $R_A = 2\;\Omega$ e $R_B = 4\;\Omega$, trovare la resistenza equivalente $Z_\infty$ vista ai terminali d’ingresso.

$R_A$ in serie sul filo superiore, $R_B$ in shunt; la cella si ripete all’infinito.

Soluzione

Trucco dell’autosomiglianza. Aggiungendo una cella la scala resta identica, quindi $Z_\infty$ soddisfa $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty} \;\Longrightarrow\; Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A R_B = 0$

Sostituisco i valori $R_A = 2\;\Omega$, $R_B = 4\;\Omega$: $Z_\infty^2 - 2\,Z_\infty - 2\cdot 4 = 0 \;\Rightarrow\; Z_\infty^2 - 2\,Z_\infty - 8 = 0$

Discriminante e soluzione positiva: $\Delta = 4 + 32 = 36$ $Z_\infty = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\;\Omega$

Verifica immediata con l’equazione di autosomiglianza: $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty} = 2 + \frac{4\cdot 4}{4 + 4} = 2 + 2 = 4\;\Omega$ Corretto.

$\ev{Z_\infty = 4\;\Omega}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica