Problema — Distanza massima di un tuono

Testo

Stima la distanza massima a cui un orecchio umano medio può sentire il rombo di un tuono, sapendo che la soglia di udibilità a bassa frequenza è $I_\text{min} \approx 10^{-8}\;\text{W/m}^2$ e che un fulmine emette acusticamente una potenza di picco dell’ordine di $10^{7}\;\text{W}$. Supponi emissione isotropa e trascura l’assorbimento dell’aria.

Soluzione

Impostazione. Emissione isotropa: la potenza si distribuisce su una sfera di raggio $r$, quindi $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$. Il tuono è udibile finché $I \ge I_\text{min}$; la distanza massima si ha per $I = I_\text{min}$:

$r = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_\text{min}}} = \sqrt{\frac{10^{7}}{4\pi\cdot 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{10^{7}}{1{,}26\cdot 10^{-7}}}$

$r = \sqrt{7{,}96\cdot 10^{13}} \approx 8{,}9\cdot 10^{6}\;\mathrm{m}$

$\ev{r \sim 10^{7}\;\mathrm{m}}$

Commento. L’ordine di grandezza ($\sim 10^4$ km) è irrealisticamente grande: nella realtà l’assorbimento dell’aria e la rifrazione del suono limitano l’udibilità del tuono a pochi km (in genere $< 15$–$20$ km). Il modello isotropo senza assorbimento sovrastima enormemente: mostra che è proprio l’attenuazione atmosferica, qui trascurata, a fissare la distanza reale.

Collegamenti

Argomenti: Onde Concetti: Intensità di un’onda Competenze: Stime di Fermi