Problema — Analisi dimensionale velocità su una corda

Testo

La velocità di un’onda trasversale su una corda dipende dalla tensione $T$ (forza) e dalla densità lineare $\mu$ (massa su lunghezza). Usa l’analisi dimensionale per ricavare la dipendenza funzionale di $v$ da $T$ e $\mu$.

Soluzione

Impostazione. Cerchiamo $v = k\,T^{a}\mu^{b}$ con $k$ numero puro. Dimensioni:

$[v] = \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad [T] = \mathrm{N} = \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}, \qquad [\mu] = \mathrm{kg\,m^{-1}}$

Bilancio dimensionale.

$\mathrm{m\,s^{-1}} = (\mathrm{kg\,m\,s^{-2}})^{a}\,(\mathrm{kg\,m^{-1}})^{b} = \mathrm{kg}^{a+b}\,\mathrm{m}^{a-b}\,\mathrm{s}^{-2a}$

Sistema degli esponenti (kg, m, s):

$a+b = 0, \qquad a-b = 1, \qquad -2a = -1$

Da cui $a = \tfrac{1}{2}$ e $b = -\tfrac{1}{2}$. Quindi:

$\ev{v = k\sqrt{\frac{T}{\mu}}}$

L’analisi dimensionale fissa la forma $v \propto \sqrt{T/\mu}$; il calcolo completo dà $k = 1$, cioè $v = \sqrt{T/\mu}$.

Collegamenti

Argomenti: Onde Concetti: Onda armonica Competenze: Analisi dimensionale