Esercizio svolto — spettrometro di massa del cianuro

Testo

Un chimico analizza il cianuro (CN$^-$) in uno spettrometro di massa: gli atomi di carbonio (C) e di azoto (N) vengono ionizzati, accelerati fino all’energia cinetica $K = 10^{-4}\;\text{J}$ ciascuno, e poi immessi in una regione con $|\vec{B}| = 1\;\text{T}$ perpendicolare alla velocità. Quali sono i raggi dei cerchi percorsi dai due ioni? Le masse sono $m_\text{C} = 12\,u$ e $m_\text{N} = 14\,u$, con $1\,u \approx 1{,}66\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$.

Soluzione

Raggio in funzione dell’energia cinetica. Uso $r = mv/(qB)$. Da $K = \tfrac{1}{2}mv^2$ si ha $v = \sqrt{2K/m}$, quindi $mv = m\sqrt{2K/m} = \sqrt{2Km}$. Allora: $r = \frac{\sqrt{2\,K\,m}}{q\,B}$

Con $q = e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\;\text{C}$ e $B = 1\;\text{T}$: $r_\text{C} = \frac{\sqrt{2\cdot 10^{-4}\cdot 12\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = \frac{\sqrt{3{,}98\cdot 10^{-30}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx \ev{1{,}25\cdot 10^4\;\text{m} = 12{,}5\;\text{km}}$

Per l’azoto, poiché $r \propto \sqrt{m}$ a parità di $K$, $q$, $B$: $r_\text{N} = \sqrt{\frac{14}{12}}\cdot r_\text{C} \approx \ev{1{,}35\cdot 10^4\;\text{m} = 13{,}5\;\text{km}}$

La differenza di raggi (circa $1\;\text{km}$ su $\sim 13\;\text{km}$) è proporzionale a $\sqrt{m_\text{N}/m_\text{C}}$. Lo spettrometro separa C e N con una risoluzione relativa del $\sim 8\%$, sufficiente a identificare entrambi.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme