Forza di un MRI su una graffetta

Testo

Un magnete da MRI produce $B = 1{,}5$ T al centro. Stima la forza di attrazione su una graffetta di $1$ g a $50$ cm dal centro, assumendo un decadimento dipolare $B \propto 1/r^3$, e confronta col peso.

Soluzione

La forza su un oggetto ferromagnetico è proporzionale a $B$ e al gradiente del campo: $F\propto B\,\frac{\dd B}{\dd r}$

Con $B\propto1/r^3$ si ha $\dfrac{\dd B}{\dd r}\propto-\dfrac{3B}{r}$, quindi $F\propto\dfrac{B^2}{r}$ decade molto rapidamente allontanandosi dal centro. A $50$ cm il campo è già molto ridotto rispetto al valore centrale.

Una stima a ordini di grandezza dà: $F \sim 2\cdot10^{-4}\;\text{N}$

Da confrontare col peso della graffetta: $P=mg\approx10^{-3}\cdot9{,}8\approx1\cdot10^{-2}\;\text{N}$

La forza magnetica è molto minore del peso: a questa distanza la graffetta resta a terra. Avvicinandosi al centro (dove $B$ e il suo gradiente crescono di ordini di grandezza) la forza supererebbe il peso e la graffetta verrebbe risucchiata. È una stima grossolana, valida solo come ordine di grandezza.

$\ev{F \sim 2\cdot 10^{-4}\;\text{N}\ \ll\ P\approx1\cdot10^{-2}\;\text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico Competenze: Stime di Fermi