Induttanza e autoinduzione

Un circuito percorso da corrente genera un campo magnetico e quindi un flusso attraverso se stesso. Se la corrente varia, varia il flusso e nasce una FEM che si oppone: è l’autoinduzione. L’induttanza misura questa reazione; il solenoide ne è l’esempio canonico e immagazzina energia nel campo magnetico. Due circuiti vicini si influenzano a vicenda: è la mutua induzione, base del trasformatore.

• Autoinduzione e induttanza
• Tensione ai capi di un induttore
• Induttanza di un solenoide
• Energia immagazzinata in un induttore
• Mutua induzione e coefficiente M

A circuit carrying a current generates a magnetic field and hence a flux through itself. If the current varies, the flux varies and an opposing EMF arises: this is self-induction. Inductance measures this reaction; the solenoid is its canonical example, and it stores energy in the magnetic field. Two nearby circuits affect each other: this is mutual induction, the basis of the transformer.

• Self-induction and inductance
• Voltage across an inductor
• Inductance of a solenoid
• Energy stored in an inductor
• Mutual induction and the coefficient M

Un circuito percorso da corrente genera esso stesso un campo magnetico, e quindi un flusso attraverso se stesso. Se la corrente varia, varia questo flusso e, per la legge di Faraday, nasce una FEM che si oppone alla variazione. È il fenomeno dell’autoinduzione.

Principio — Induttanza di un circuito

Per ogni circuito vale la relazione lineare tra flusso autoconcatenato e corrente: $\ev{\Phi_B^\text{auto} = L\cdot i}$ dove $L$ è l’induttanza del circuito, misurata in henry (H).

Il punto cruciale è che $L$ dipende solo dalla geometria del circuito (numero di spire, forma, dimensioni, materiale del nucleo), non dal valore istantaneo di $i$. È una costante caratteristica del circuito, esattamente come la capacità $C$ lo è di un condensatore.

Il parallelo con il condensatore è illuminante: l’induttanza è al solenoide quello che la capacità è al condensatore. Da un lato $C = Q/\Delta V$ lega carica e tensione; dall’altro $L = \Phi_B/i$ lega flusso e corrente. Sono le due grandezze geometriche che governano, rispettivamente, l’accumulo di energia elettrica e di energia magnetica.

▶8.02x Lez. 20 — Induttanza, circuiti RL — Walter Lewin

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Flusso magnetico

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A circuit carrying a current generates a magnetic field of its own, and hence a flux through itself. If the current varies, this flux varies too and, by Faraday’s law, an EMF arises that opposes the change. This is the phenomenon of self-induction.

Principle — Inductance of a circuit

For every circuit the linear relation between self-linked flux and current holds: $\ev{\Phi_B^\text{self} = L\cdot i}$ where $L$ is the circuit’s inductance, measured in henries (H).

The crucial point is that $L$ depends only on the geometry of the circuit (number of turns, shape, dimensions, core material), not on the instantaneous value of $i$. It is a characteristic constant of the circuit, exactly as the capacitance $C$ is for a capacitor.

The parallel with the capacitor is illuminating: inductance is to a solenoid what capacitance is to a capacitor. On one hand $C = Q/\Delta V$ links charge and voltage; on the other $L = \Phi_B/i$ links flux and current. These are the two geometric quantities that govern, respectively, the storage of electric energy and of magnetic energy.

▶8.02x Lect 20 — Inductance, RL Circuits — Walter Lewin

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Un induttore si oppone ai cambiamenti della corrente che lo attraversa: se la corrente varia, ai suoi capi compare una tensione. In questa pagina ricaviamo questa tensione dalla legge di Faraday — la fem autoindotta $\mathcal{E}_L = -L\,di/dt$, e con la convenzione degli utilizzatori $\Delta V = +L\,di/dt$ — e capiamo perché, staccando una spina, a volte si vede una scintilla.

Dalla relazione $\Phi_B^\text{auto} = L\,i$ e dalla legge di Faraday segue la fem autoindotta quando la corrente cambia. Quella fem non è, da sola, la differenza di potenziale ai morsetti: il segno dipende dalla convenzione.

Tensione ai capi di un induttore

La fem autoindotta, nel verso che si oppone alla variazione di corrente (Lenz), è: $\ev{\mathcal{E}_L = -L\,\frac{di}{dt}}$ Con la convenzione degli utilizzatori — la corrente entra dal morsetto a potenziale più alto — la differenza di potenziale ai capi ha il segno opposto: $\ev{\Delta V = +L\,\frac{di}{dt}}$ In questa pagina $V_L$ indica la fem autoindotta, $\mathcal{E}_L = -L\,di/dt$.

Il segno meno della fem significa che l’induttore si oppone alle variazioni di corrente: è l’analogo elettrico dell’inerzia. Se la corrente cerca di aumentare, l’induttore genera una tensione che la frena; se cerca di diminuire, l’induttore genera una tensione che la sostiene. In entrambi i casi l’induttore lavora contro il cambiamento.

Questa è la ragione per cui la corrente in un circuito con induttore non può cambiare istantaneamente: servirebbe una $di/dt$ infinita, quindi una tensione infinita. L’induttore “leviga” le variazioni di corrente, proprio come una massa leviga le variazioni di velocità.

▶Perché scatta la scintilla staccando la spina — FEM e induttori — Physics Girl

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione

Esercizi collegati: Problema — Energia nel campo di un solenoide · Grafici dell’autoinduzione · Transitorio RL: costante di tempo

An inductor opposes changes in the current through it: if the current varies, a voltage appears across its terminals. On this page we obtain that voltage from Faraday’s law — the self-induced emf $\mathcal{E}_L = -L\,di/dt$, and with the passive sign convention $\Delta V = +L\,di/dt$ — and we see why unplugging a lead sometimes produces a spark.

From the relation $\Phi_B^\text{self} = L\,i$ and Faraday’s law we obtain the self-induced emf when the current changes. That emf is not, by itself, the potential difference at the terminals: the sign depends on the convention.

Voltage across an inductor

The self-induced emf, in the sense that opposes the change in current (Lenz), is: $\ev{\mathcal{E}_L = -L\,\frac{di}{dt}}$ With the passive sign convention — current enters at the higher-potential terminal — the potential difference across the inductor has the opposite sign: $\ev{\Delta V = +L\,\frac{di}{dt}}$ On this page $V_L$ means the self-induced emf, $\mathcal{E}_L = -L\,di/dt$.

The minus sign of the emf means that the inductor opposes changes in current: it is the electrical analogue of inertia. If the current tries to increase, the inductor generates a voltage that brakes it; if it tries to decrease, the inductor generates a voltage that sustains it. In both cases the inductor works against the change.

This is why the current in a circuit containing an inductor cannot change instantaneously: it would require an infinite $di/dt$, and hence an infinite voltage. The inductor “smooths out” changes in current, just as a mass smooths out changes in velocity.

▶Why outlets spark when unplugging — EMF & Inductors — Physics Girl

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Inductance and self-induction

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Il solenoide è il caso canonico in cui l’induttanza si calcola esplicitamente a partire dalla geometria.

Per un solenoide di $N$ spire, area $A$ e lunghezza $\ell$, il campo magnetico interno è $|B| = \mu_0\, i\, N/\ell$. Il flusso attraverso una singola spira è $B\cdot A$, e il flusso totale, concatenato con tutte le $N$ spire, è:

$\Phi_B^\text{tot} = N\cdot B\cdot A = \mu_0\,\frac{N^2 A}{\ell}\,i$

Confrontando con la definizione $\Phi_B^\text{auto} = L\,i$ si legge direttamente l’induttanza:

Induttanza di un solenoide

$\ev{L_\text{sol} = \mu_0\,\frac{N^2\,A}{\ell}}$

Due osservazioni sulla struttura della formula. Primo: l’induttanza cresce col quadrato del numero di spire $N$, non linearmente: raddoppiare gli avvolgimenti quadruplica $L$ (ogni spira in più aumenta sia il campo sia il numero di spire concatenate). Secondo: $L$ dipende solo da $\mu_0$, dalla geometria ($N$, $A$, $\ell$) e dall’eventuale materiale del nucleo, mai dalla corrente: conferma che l’induttanza è una costante caratteristica del circuito.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione Oggetti: Solenoide

Esercizi collegati: Problema — Energia nel campo di un solenoide · Grafici dell’autoinduzione · Transitorio RL: costante di tempo

The solenoid is the canonical case in which the inductance can be calculated explicitly from the geometry.

For a solenoid with $N$ turns, area $A$ and length $\ell$, the internal magnetic field is $|B| = \mu_0\, i\, N/\ell$. The flux through a single turn is $B\cdot A$, and the total flux, linked with all $N$ turns, is:

$\Phi_B^\text{tot} = N\cdot B\cdot A = \mu_0\,\frac{N^2 A}{\ell}\,i$

Comparing with the definition $\Phi_B^\text{self} = L\,i$, the inductance can be read off directly:

Inductance of a solenoid

$\ev{L_\text{sol} = \mu_0\,\frac{N^2\,A}{\ell}}$

Two observations about the structure of the formula. First: the inductance grows with the square of the number of turns $N$, not linearly: doubling the windings quadruples $L$ (each extra turn increases both the field and the number of linked turns). Second: $L$ depends only on $\mu_0$, on the geometry ($N$, $A$, $\ell$) and on any core material, never on the current: this confirms that inductance is a characteristic constant of the circuit.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Inductance and self-induction Objects: Solenoid

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Un induttore, come un condensatore, immagazzina energia; questa volta sotto forma di campo magnetico. Portare la corrente da $0$ a $i$ costa lavoro, perché l’induttore si oppone all’aumento (tensione autoindotta): quel lavoro resta immagazzinato.

Energia in un induttore

$\ev{E_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2}$

La formula è l’analoga esatta dell’energia in un condensatore, $E_C = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2$. Il dizionario delle corrispondenze è ormai familiare: dove il condensatore usa la capacità $C$ e la tensione $V$, l’induttore usa l’induttanza $L$ e la corrente $i$.

Questa energia non è persa: viene restituita quando la corrente diminuisce di nuovo verso zero. È proprio questo scambio reversibile tra energia elettrica (nel condensatore) ed energia magnetica (nell’induttore) a rendere possibili le oscillazioni indefinite del circuito LC.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Densità di energia del campo

Esercizi collegati: Problema — Energia nel campo di un solenoide · Grafici dell’autoinduzione · Transitorio RL: costante di tempo

An inductor, like a capacitor, stores energy; this time in the form of a magnetic field. Bringing the current from $0$ to $i$ costs work, because the inductor opposes the increase (self-induced voltage): that work remains stored.

Energy in an inductor

$\ev{E_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2}$

The formula is the exact analogue of the energy in a capacitor, $E_C = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2$. The dictionary of correspondences is by now familiar: where the capacitor uses capacitance $C$ and voltage $V$, the inductor uses inductance $L$ and current $i$.

This energy is not lost: it is returned when the current decreases back towards zero. It is precisely this reversible exchange between electrical energy (in the capacitor) and magnetic energy (in the inductor) that makes the indefinite oscillations of the LC circuit possible.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Inductance and self-induction · Field energy density

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Finora la corrente di un circuito produceva un flusso attraverso se stesso. Ma il campo magnetico non si ferma ai fili: se accanto c’è un secondo circuito, una parte delle linee di campo lo attraversa. Quando la corrente nel primo circuito varia, varia anche il flusso nel secondo, e lì nasce una fem anche se i due circuiti non si toccano. È la mutua induzione, ed è il principio del trasformatore.

In breve

Il coefficiente di mutua induzione $M$ dice quanto flusso arriva nel circuito 2 per ogni ampere che scorre nel circuito 1: $\Phi_{21} = M\,i_1$. Si misura in henry (H), come l’induttanza. Se $i_1$ varia, nel circuito 2 compare la fem $\mathcal{E}_2 = -M\,di_1/dt$. Per un solenoide lungo e una bobina avvolta sopra (coassiale) vale $M = \mu_0 N_1 N_2 A/\ell$.

Il coefficiente di mutua induzione

Il circuito 1 è percorso dalla corrente $i_1$. Il campo $\vec B_1$ che produce è proporzionale a $i_1$ (Biot-Savart, Ampère), quindi anche il flusso che $\vec B_1$ manda attraverso tutte le spire del circuito 2 è proporzionale a $i_1$.

Principio — Coefficiente di mutua induzione

Il flusso concatenato con il circuito 2, dovuto alla corrente del circuito 1, è $\ev{\Phi_{21} = M_{21}\,i_1}$ $M_{21}$ è il coefficiente di mutua induzione (o mutua induttanza), in henry: $1\ \text{H} = 1\ \text{Wb/A}$.

Come l’induttanza $L$, anche $M$ dipende solo dalla geometria: forma e numero di spire dei due circuiti, la loro distanza e il loro orientamento, e l’eventuale nucleo di ferro. Non dipende dalla corrente. Allontanando i circuiti o ruotandoli in modo che le linee di $\vec B_1$ non attraversino il circuito 2, $M$ diminuisce fino a zero.

Reciprocità: $M_{12} = M_{21}$

Possiamo fare il gioco al contrario: mandiamo una corrente $i_2$ nel circuito 2 e misuriamo il flusso nel circuito 1, $\Phi_{12} = M_{12}\,i_2$. Il risultato, per niente ovvio, è che i due coefficienti sono uguali:

Reciprocità della mutua induzione

$\ev{M_{12} = M_{21} = M}$

Non serve quindi dire “M di chi su chi”: c’è un solo coefficiente per la coppia di circuiti. La dimostrazione generale (formula di Neumann) va oltre il liceo, ma la conseguenza pratica è utilissima: si calcola $M$ nel verso più comodo. Lo vedremo nell’esercizio con la spira dentro il solenoide.

La fem di mutua induzione

Applicando la legge di Faraday-Neumann al circuito 2 con $\Phi_{21} = M\,i_1$ e $M$ costante (circuiti fermi):

Fem di mutua induzione

$\ev{\mathcal{E}_2 = -M\,\frac{di_1}{dt}}$

e, simmetricamente,

$\mathcal{E}_1 = -M\,\dfrac{di_2}{dt}$

Il segno meno è quello di Lenz: la corrente indotta nel circuito 2 crea un campo che si oppone alla variazione del flusso dovuto al circuito 1. Contano solo le variazioni di corrente: una corrente continua e costante in 1, per quanto grande, non induce niente in 2. Per questo il trasformatore funziona solo in corrente alternata.

Se anche il circuito 2 è percorso da una corrente variabile, la fem in ciascun circuito somma autoinduzione e mutua induzione: $\mathcal{E}_1 = -L_1\,di_1/dt \mp M\,di_2/dt$ (il segno del termine con $M$ dipende da come sono avvolte le bobine e dai versi scelti per le correnti).

Solenoide e bobina coassiale

Un solenoide lungo (blu, $N_1$ spire, lunghezza $\ell$) e una bobina più corta avvolta coassialmente al suo interno (rossa, $N_2$ spire, area $A$). Le linee di $\vec B_1$ attraversano tutte le spire della bobina.

Un solenoide lungo di $N_1$ spire e lunghezza $\ell$, percorso da $i_1$, ha all’interno un campo uniforme $B_1 = \mu_0\,\frac{N_1}{\ell}\,i_1.$ Una bobina di $N_2$ spire e area $A$ è avvolta sullo stesso asse, dentro il solenoide (o sopra, se ha la stessa sezione). Ogni sua spira è attraversata dal flusso $B_1 A$, quindi il flusso concatenato è $\Phi_{21} = N_2\,B_1\,A = \mu_0\,\frac{N_1 N_2 A}{\ell}\,i_1.$

Mutua induzione di un solenoide e di una bobina coassiale

$\ev{M = \mu_0\,\frac{N_1\,N_2\,A}{\ell}}$ $A$ è l’area della sezione più piccola fra le due (di solito quella della bobina interna), $\ell$ la lunghezza del solenoide lungo.

Attenzione all’area: se la bobina è più piccola della sezione del solenoide, conta la sua area, perché il flusso utile è solo quello che la attraversa. Se invece fosse la bobina grande ad avvolgere il solenoide, conterebbe l’area del solenoide, perché fuori dal solenoide (ideale) il campo è nullo. Con un nucleo di ferro di permeabilità relativa $\mu_r$ si sostituisce $\mu_0$ con $\mu_0\mu_r$: $M$ cresce di centinaia o migliaia di volte.

Legame con l’induttanza: il coefficiente di accoppiamento

Confrontiamo con l’induttanza di un solenoide, $L = \mu_0 N^2 A/\ell$. Se le due bobine hanno la stessa area e la stessa lunghezza, $L_1 = \mu_0\,\frac{N_1^2 A}{\ell}, \qquad L_2 = \mu_0\,\frac{N_2^2 A}{\ell} \quad\Rightarrow\quad L_1 L_2 = \left(\mu_0\,\frac{N_1 N_2 A}{\ell}\right)^2 = M^2.$ È il caso ideale in cui tutto il flusso di un circuito attraversa l’altro. In generale parte delle linee di campo “si perde” e $M$ è più piccolo:

Coefficiente di accoppiamento

$\ev{M = k\,\sqrt{L_1 L_2}}, \qquad 0 \le k \le 1$

$k = 1$: accoppiamento perfetto (nessun flusso disperso); $k = 0$: circuiti che non si “vedono”.

Due bobine lontane o perpendicolari hanno $k$ vicino a zero; un buon trasformatore con nucleo di ferro chiuso supera $k = 0{,}99$.

Energia di due circuiti accoppiati

Due circuiti con correnti $i_1$ e $i_2$ immagazzinano nel campo magnetico l’energia di ciascun induttore più un termine di interazione: $U = \tfrac12\,L_1 i_1^2 + \tfrac12\,L_2 i_2^2 \pm M\,i_1 i_2 .$ Il segno è $+$ se i flussi delle due correnti si sommano, $-$ se si oppongono. Il termine $M\,i_1 i_2$ è l’energia di interazione fra i due circuiti.

Dalla mutua induzione al trasformatore

Il trasformatore è una coppia di bobine con accoppiamento quasi perfetto ($k \approx 1$) grazie al nucleo di ferro. La stessa variazione di flusso per spira attraversa primario e secondario, quindi le tensioni stanno nel rapporto delle spire, $\Delta V_2/\Delta V_1 = N_2/N_1$. La mutua induzione è il meccanismo; il trasformatore è la sua applicazione più importante. Altre applicazioni: i caricatori a induzione dei telefoni, le pinze amperometriche, i sensori dei metal detector.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Due bobine coassiali

Un solenoide lungo $\ell = 50$ cm ha $N_1 = 1000$ spire. Sopra, al centro, è avvolta una bobina di $N_2 = 200$ spire con la stessa sezione, $A = 20\ \text{cm}^2$. (a) Calcola $M$. (b) La corrente nel solenoide sale in modo uniforme da $0$ a $3{,}0$ A in $10$ ms: quanto vale la fem indotta nella bobina?

Soluzione

• Unità SI: $\ell = 0{,}50$ m, $A = 2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m}^2$.
• (a) $M = \mu_0 N_1 N_2 A/\ell = (4\pi\cdot10^{-7})\cdot\dfrac{1000\cdot 200\cdot 2{,}0\cdot10^{-3}}{0{,}50} = (4\pi\cdot10^{-7})\cdot 800 \approx 1{,}0\cdot10^{-3}$ H $= 1{,}0$ mH.
• (b) $di_1/dt = 3{,}0\ \text{A}/0{,}010\ \text{s} = 300$ A/s, quindi $|\mathcal{E}_2| = M\,di_1/dt \approx 1{,}0\cdot10^{-3}\cdot 300 = 0{,}30$ V.

Finché la corrente sale la fem c’è; appena la corrente si stabilizza a 3,0 A la fem si annulla.

Esercizio 2 — Solenoide e spira

Dentro un solenoide lungo con $n = N_1/\ell = 2000$ spire/m è posta una piccola spira circolare di raggio $r = 1{,}0$ cm, coassiale. Nel solenoide scorre una corrente alternata $i_1 = I_0\sin(\omega t)$ con $I_0 = 2{,}0$ A e $f = 50$ Hz. (a) Calcola $M$. (b) Trova la fem massima nella spira.

Soluzione

• (a) Il campo del solenoide è uniforme, $B_1 = \mu_0 n\, i_1$, e la spira ($N_2 = 1$) ha area $\pi r^2$: $M = \mu_0\, n\,\pi r^2 = (4\pi\cdot10^{-7})\cdot 2000\cdot \pi\,(1{,}0\cdot10^{-2})^2 \approx 7{,}9\cdot10^{-7}$ H $\approx 0{,}79\ \mu$H.
• (b) $\mathcal{E}_2 = -M\,di_1/dt = -M\,\omega I_0\cos(\omega t)$, quindi $\mathcal{E}_{2,\max} = M\omega I_0 = 7{,}9\cdot10^{-7}\cdot(2\pi\cdot 50)\cdot 2{,}0 \approx 5{,}0\cdot10^{-4}$ V $= 0{,}50$ mV.

Perché la reciprocità aiuta. Se facessimo passare la corrente nella spira e cercassimo il flusso nel solenoide, dovremmo sommare il campo (complicato) della spira su tutte le spire del solenoide. Grazie a $M_{12} = M_{21}$ il risultato è lo stesso, e lo abbiamo ottenuto nel verso facile.

Esercizio 3 — Accoppiamento ed energia

Due bobine hanno $L_1 = 40$ mH, $L_2 = 10$ mH e $M = 15$ mH. (a) Calcola il coefficiente di accoppiamento. (b) Trova l’energia magnetica quando $i_1 = 2{,}0$ A e $i_2 = 1{,}0$ A con flussi concordi.

Soluzione

• (a) $k = M/\sqrt{L_1L_2} = 15/\sqrt{40\cdot10} = 15/20 = 0{,}75$: $M$ è il 75% del valore massimo $\sqrt{L_1L_2}$, il resto è flusso disperso.
• (b) $U = \tfrac12(0{,}040)(2{,}0)^2 + \tfrac12(0{,}010)(1{,}0)^2 + (0{,}015)(2{,}0)(1{,}0) = 0{,}080 + 0{,}005 + 0{,}030 = 0{,}115$ J.

Con flussi opposti l’ultimo termine cambierebbe segno: $U = 0{,}055$ J.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Flusso magnetico · Legge di Faraday-Neumann-Lenz Oggetti: Solenoide

Pagine collegate: Induttanza di un solenoide · Il trasformatore Esercizi collegati: Problema — Trasformatore ideale · Problema — Energia nel campo di un solenoide

So far a circuit’s current produced a flux through itself. But the magnetic field does not stop at the wires: if there is a second circuit nearby, some of the field lines pass through it. When the current in the first circuit changes, the flux through the second changes too, and an EMF appears there even though the two circuits do not touch. This is mutual induction, and it is the principle of the transformer.

In short

The coefficient of mutual induction $M$ tells you how much flux reaches circuit 2 for every ampere flowing in circuit 1: $\Phi_{21} = M\,i_1$. It is measured in henries (H), like inductance. If $i_1$ changes, an EMF $\mathcal{E}_2 = -M\,di_1/dt$ appears in circuit 2. For a long solenoid and a coil wound on the same axis (coaxial), $M = \mu_0 N_1 N_2 A/\ell$.

The coefficient of mutual induction

Circuit 1 carries the current $i_1$. The field $\vec B_1$ it produces is proportional to $i_1$ (Biot-Savart, Ampère), so the flux that $\vec B_1$ sends through all the turns of circuit 2 is proportional to $i_1$ as well.

Principle — Coefficient of mutual induction

The flux linked with circuit 2, due to the current in circuit 1, is $\ev{\Phi_{21} = M_{21}\,i_1}$ $M_{21}$ is the coefficient of mutual induction (or mutual inductance), in henries: $1\ \text{H} = 1\ \text{Wb/A}$.

Like the inductance $L$, $M$ depends only on the geometry: the shape and number of turns of the two circuits, their distance and orientation, and any iron core. It does not depend on the current. Moving the circuits apart, or turning them so that the lines of $\vec B_1$ no longer cross circuit 2, makes $M$ fall towards zero.

Reciprocity: $M_{12} = M_{21}$

We can play the game the other way round: send a current $i_2$ through circuit 2 and measure the flux in circuit 1, $\Phi_{12} = M_{12}\,i_2$. The result, which is far from obvious, is that the two coefficients are equal:

Reciprocity of mutual induction

$\ev{M_{12} = M_{21} = M}$

So there is no need to say “M of which on which”: a pair of circuits has a single coefficient. The general proof (Neumann’s formula) is beyond high school, but the practical consequence is very useful: compute $M$ in whichever direction is easier. We will see this in the exercise with the loop inside the solenoid.

The EMF of mutual induction

Applying the Faraday-Neumann law to circuit 2 with $\Phi_{21} = M\,i_1$ and constant $M$ (circuits at rest):

EMF of mutual induction

$\ev{\mathcal{E}_2 = -M\,\frac{di_1}{dt}}$

and, symmetrically,

$\mathcal{E}_1 = -M\,\dfrac{di_2}{dt}$

The minus sign is Lenz’s: the current induced in circuit 2 creates a field that opposes the change in the flux due to circuit 1. Only changes in current matter: a steady direct current in 1, however large, induces nothing in 2. That is why the transformer works only with alternating current.

If circuit 2 also carries a changing current, the EMF in each circuit adds self-induction and mutual induction: $\mathcal{E}_1 = -L_1\,di_1/dt \mp M\,di_2/dt$ (the sign of the $M$ term depends on how the coils are wound and on the directions chosen for the currents).

Solenoid and coaxial coil

A long solenoid (blue, $N_1$ turns, length $\ell$) and a shorter coil wound coaxially inside it (red, $N_2$ turns, area $A$). The lines of $\vec B_1$ pass through every turn of the coil.

A long solenoid with $N_1$ turns and length $\ell$, carrying $i_1$, has a uniform field inside $B_1 = \mu_0\,\frac{N_1}{\ell}\,i_1.$ A coil with $N_2$ turns and area $A$ is wound on the same axis, inside the solenoid (or on top of it, if it has the same cross-section). Each of its turns is crossed by the flux $B_1 A$, so the linked flux is $\Phi_{21} = N_2\,B_1\,A = \mu_0\,\frac{N_1 N_2 A}{\ell}\,i_1.$

Mutual induction of a solenoid and a coaxial coil

$\ev{M = \mu_0\,\frac{N_1\,N_2\,A}{\ell}}$ $A$ is the area of the smaller of the two cross-sections (usually that of the inner coil), $\ell$ the length of the long solenoid.

Mind the area: if the coil is smaller than the solenoid’s cross-section, its own area counts, because the useful flux is only the part that crosses it. If instead a large coil were wrapped around the solenoid, the solenoid’s area would count, because outside an (ideal) solenoid the field is zero. With an iron core of relative permeability $\mu_r$, replace $\mu_0$ with $\mu_0\mu_r$: $M$ grows by hundreds or thousands of times.

Link with inductance: the coupling coefficient

Compare with the inductance of a solenoid, $L = \mu_0 N^2 A/\ell$. If the two coils have the same area and length, $L_1 = \mu_0\,\frac{N_1^2 A}{\ell}, \qquad L_2 = \mu_0\,\frac{N_2^2 A}{\ell} \quad\Rightarrow\quad L_1 L_2 = \left(\mu_0\,\frac{N_1 N_2 A}{\ell}\right)^2 = M^2.$ This is the ideal case in which all the flux of one circuit passes through the other. In general some field lines “leak” and $M$ is smaller:

Coupling coefficient

$\ev{M = k\,\sqrt{L_1 L_2}}, \qquad 0 \le k \le 1$

$k = 1$: perfect coupling (no leakage flux); $k = 0$: circuits that do not “see” each other.

Two distant or perpendicular coils have $k$ close to zero; a good transformer with a closed iron core exceeds $k = 0.99$.

Energy of two coupled circuits

Two circuits with currents $i_1$ and $i_2$ store in the magnetic field the energy of each inductor plus an interaction term: $U = \tfrac12\,L_1 i_1^2 + \tfrac12\,L_2 i_2^2 \pm M\,i_1 i_2 .$ The sign is $+$ if the fluxes of the two currents add, $-$ if they oppose. The term $M\,i_1 i_2$ is the interaction energy between the two circuits.

From mutual induction to the transformer

The transformer is a pair of coils with almost perfect coupling ($k \approx 1$) thanks to the iron core. The same change of flux per turn crosses primary and secondary, so the EMFs are in the ratio of the turns, $\Delta V_2/\Delta V_1 = N_2/N_1$. Mutual induction is the mechanism; the transformer is its most important application. Other applications: wireless phone chargers, clamp meters, metal-detector sensors.

Worked exercises

Exercise 1 — Two coaxial coils

A long solenoid with $\ell = 50$ cm has $N_1 = 1000$ turns. A coil with $N_2 = 200$ turns and the same cross-section, $A = 20\ \text{cm}^2$, is wound over its middle. (a) Find $M$. (b) The current in the solenoid rises uniformly from $0$ to $3.0$ A in $10$ ms: what is the EMF induced in the coil?

Solution

• SI units: $\ell = 0.50$ m, $A = 2.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$.
• (a) $M = \mu_0 N_1 N_2 A/\ell = (4\pi\times10^{-7})\cdot\dfrac{1000\cdot 200\cdot 2.0\times10^{-3}}{0.50} = (4\pi\times10^{-7})\cdot 800 \approx 1.0\times10^{-3}$ H $= 1.0$ mH.
• (b) $di_1/dt = 3.0\ \text{A}/0.010\ \text{s} = 300$ A/s, so $|\mathcal{E}_2| = M\,di_1/dt \approx 1.0\times10^{-3}\cdot 300 = 0.30$ V.

The EMF is there while the current rises; as soon as the current settles at 3.0 A it drops to zero.

Exercise 2 — Solenoid and loop

A small circular loop of radius $r = 1.0$ cm is placed coaxially inside a long solenoid with $n = N_1/\ell = 2000$ turns/m. The solenoid carries an alternating current $i_1 = I_0\sin(\omega t)$ with $I_0 = 2.0$ A and $f = 50$ Hz. (a) Find $M$. (b) Find the maximum EMF in the loop.

Solution

• (a) The solenoid’s field is uniform, $B_1 = \mu_0 n\, i_1$, and the loop ($N_2 = 1$) has area $\pi r^2$: $M = \mu_0\, n\,\pi r^2 = (4\pi\times10^{-7})\cdot 2000\cdot \pi\,(1.0\times10^{-2})^2 \approx 7.9\times10^{-7}$ H $\approx 0.79\ \mu$H.
• (b) $\mathcal{E}_2 = -M\,di_1/dt = -M\,\omega I_0\cos(\omega t)$, so $\mathcal{E}_{2,\max} = M\omega I_0 = 7.9\times10^{-7}\cdot(2\pi\cdot 50)\cdot 2.0 \approx 5.0\times10^{-4}$ V $= 0.50$ mV.

Why reciprocity helps. If we sent the current through the loop and looked for the flux in the solenoid, we would have to add up the (complicated) field of the loop over all the turns of the solenoid. Thanks to $M_{12} = M_{21}$ the result is the same, and we got it the easy way.

Exercise 3 — Coupling and energy

Two coils have $L_1 = 40$ mH, $L_2 = 10$ mH and $M = 15$ mH. (a) Find the coupling coefficient. (b) Find the magnetic energy when $i_1 = 2.0$ A and $i_2 = 1.0$ A with aiding fluxes.

Solution

• (a) $k = M/\sqrt{L_1L_2} = 15/\sqrt{40\cdot10} = 15/20 = 0.75$: $M$ is 75% of the maximum possible value $\sqrt{L_1L_2}$; the rest is leakage flux.
• (b) $U = \tfrac12(0.040)(2.0)^2 + \tfrac12(0.010)(1.0)^2 + (0.015)(2.0)(1.0) = 0.080 + 0.005 + 0.030 = 0.115$ J.

With opposing fluxes the last term would change sign: $U = 0.055$ J.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Inductance and self-induction · Magnetic flux · Faraday-Neumann-Lenz law Objects: Solenoid

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