Problema — Induttore e condensatore (LC)

Testo

In un circuito $LC$ ideale (senza resistenza) l’induttore ha $L=0{,}10\ \text{H}$ e il condensatore $C=10\ \mu\text{F}$. All’istante iniziale il condensatore è carico alla tensione $V_0=12\ \text{V}$ e non circola corrente. Calcola: (a) la frequenza di oscillazione; (b) la corrente massima nel circuito; (c) l’energia totale, scrivendola in due forme equivalenti.

Circuito $LC$ ideale: condensatore $C$ (a sinistra) e induttore $L$ (a destra) chiusi in anello.

Soluzione

(a) Frequenza di oscillazione. La pulsazione propria è $\omega=1/\sqrt{LC}$, quindi $f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\qquad LC=0{,}10\cdot 10\cdot 10^{-6}=10^{-6}\ \text{s}^2,\quad \sqrt{LC}=10^{-3}\ \text{s}$ $f=\frac{1}{2\pi\cdot 10^{-3}}=\frac{1}{6{,}28\cdot 10^{-3}}\approx 159\ \text{Hz}$ $\ev{f\approx 159\ \text{Hz}}$

(c) Energia totale. All’inizio è tutta elettrica, immagazzinata nel condensatore: $E=\tfrac{1}{2}C V_0^2=\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot (12)^2=7{,}2\cdot 10^{-4}\ \text{J}$ Nel circuito ideale essa si conserva e oscilla fra forma elettrica e magnetica: $\ev{E=\tfrac{1}{2}C V_0^2=\tfrac{1}{2}L\,i_\text{max}^2=7{,}2\cdot 10^{-4}\ \text{J}}$

(b) Corrente massima. Quando il condensatore è scarico tutta l’energia è magnetica, $\tfrac{1}{2}L\,i_\text{max}^2=E$: $i_\text{max}=\sqrt{\frac{2E}{L}}=\sqrt{\frac{2\cdot 7{,}2\cdot 10^{-4}}{0{,}10}}=\sqrt{1{,}44\cdot 10^{-2}}=0{,}12\ \text{A}$ $\ev{i_\text{max}=0{,}12\ \text{A}}$ Lo stesso risultato si ottiene da $i_\text{max}=\omega C V_0=V_0\sqrt{C/L}$.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Densità di energia del campo · Risonanza