Problema — Corrente RL in chiusura e apertura

Testo

In un circuito $RL$ l’interruttore viene chiuso a $t=0$ e poi riaperto per scollegare la pila a $t=3\tau$ (cortocircuitando l’induttore su $R$). Disegna qualitativamente $i(t)$ e indica i valori caratteristici.

Soluzione

Chiusura ($0\le t<3\tau$). L’induttore si oppone alla variazione di corrente: essa cresce esponenzialmente verso il valore di regime $i_\infty=E/R$ con costante di tempo $\tau=L/R$: $i(t)=i_\infty\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ A $t=3\tau$ si ha $i=i_\infty(1-e^{-3})\approx 0{,}95\,i_\infty$.

Apertura ($t\ge 3\tau$). Scollegata la pila, l’induttore è chiuso su $R$: la corrente non può saltare a zero e decade esponenzialmente con la stessa $\tau$: $i(t)=i(3\tau)\,e^{-(t-3\tau)/\tau}\ \longrightarrow\ 0$

Salita $i_\infty(1-e^{-t/\tau})$ fino a $\approx 0{,}95\,i_\infty$ a $t=3\tau$, poi decrescita $e^{-(t-3\tau)/\tau}$ verso $0$.

$\ev{i(t)=i_\infty\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\ (t<3\tau),\quad i(t)=i(3\tau)\,e^{-(t-3\tau)/\tau}\ (t\ge 3\tau),\quad i_\infty=\tfrac{E}{R},\ \tau=\tfrac{L}{R}}$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Circuito RC Competenze: Lettura dei grafici