Problema — Pendolo magnetico smorzato

Testo

Un piccolo magnete cilindrico oscilla appeso a un filo, a distanza $2\ \text{mm}$ sopra una lastra di rame spessa $1\ \text{cm}$. Spiega qualitativamente perché l’ampiezza delle oscillazioni decresce e stima il tempo caratteristico di smorzamento, sapendo che la forza frenante è $\sim b\,v$ con $b\approx (NB)^2/R$, dove $R$ è la resistenza efficace della regione di rame interessata.

Soluzione

Perché si smorza. Mentre il magnete oscilla, il campo che investe il rame varia nel tempo: nella lastra si inducono correnti di Foucault. Per la legge di Lenz queste correnti si oppongono alla variazione di flusso, cioè al moto del magnete: nasce una forza frenante viscosa $F\approx -b\,v$, proporzionale alla velocità e opposta ad essa. L’energia meccanica viene dissipata per effetto Joule nel rame, quindi l’ampiezza cala.

Modello. Aggiungendo il termine viscoso all’equazione del pendolo si ha un oscillatore smorzato; l’inviluppo dell’ampiezza decade come $e^{-t/\tau}$ con $\tau=\frac{m}{b},\qquad b\approx \frac{(NB)^2}{R}$

Stima dell’ordine. Per un magnetino di massa $m$ dell’ordine dei grammi ($m\sim 10^{-3}\ \text{kg}$) e un coefficiente $b$ dell’ordine di $10^{-3}\text{–}10^{-2}\ \text{kg/s}$ (rame molto conduttore, $R$ piccola, magnete vicino), si ottiene $\tau=\frac{m}{b}\sim \frac{10^{-3}}{10^{-3}}\ \text{s}\sim\ \text{pochi secondi}$ $\ev{F\sim b\,v,\quad b\approx \tfrac{(NB)^2}{R},\quad \tau=\tfrac{m}{b}\sim\ \text{pochi secondi}}$ Avvicinando il magnete al rame $b$ cresce e $\tau$ diminuisce: lo smorzamento è più rapido. È il principio del freno a correnti parassite.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz · Correnti di Foucault · Oscillazioni smorzate · Effetto Joule