Problema — Vela solare

Testo

Una vela solare è un lembo sottile e riflettente di area $A$, esposto alla luce solare fuori dall’atmosfera ($I_\odot\approx 1{,}36$ kW/m²). (a) Se assorbe tutta la luce la pressione di radiazione è $P_\text{rad}=I/c$; se la riflette è $P_\text{rad}=2I/c$: perché? (b) Calcola la forza su una vela riflettente quadrata di lato $100$ m. (c) Stima l’accelerazione se vela e carico hanno massa totale $1$ kg.

Soluzione

(a) Assorbimento contro riflessione. La luce trasporta quantità di moto: un fascio di energia $E$ porta $p=E/c$. Se la vela assorbe, incassa tutta la quantità di moto incidente: variazione $\Delta p=p$. Se riflette, la luce torna indietro invertendo la propria quantità di moto: la variazione è doppia, $\Delta p=2p$. Poiché la forza è la quantità di moto ceduta nell’unità di tempo, la pressione di una vela riflettente è doppia:

$P_\text{rad}^\text{ass}=\frac{I}{c}\qquad P_\text{rad}^\text{rifl}=\frac{2I}{c}$

(b) Forza sulla vela riflettente. Pressione di radiazione:

$P_\text{rad}=\frac{2I}{c}=\frac{2\cdot 1360}{3{,}00\cdot 10^8}\approx 9{,}1\cdot 10^{-6}\;\text{Pa}$

Area della vela quadrata:

$A=(100)^2=1\cdot 10^{4}\;\text{m}^2$

Forza:

$F=P_\text{rad}\,A=9{,}1\cdot 10^{-6}\cdot 1\cdot 10^{4}\approx 9{,}1\cdot 10^{-2}\;\text{N}$

$\ev{F\approx 0{,}091\;\text{N}}$

(c) Accelerazione.

$a=\frac{F}{m}=\frac{0{,}091}{1}\approx 0{,}091\;\text{m/s}^2$

$\ev{a\approx 0{,}091\;\text{m/s}^2}$

Piccola, ma applicata senza sosta per giorni produce grandi velocità: è il principio della propulsione a vela solare.

Refuso del libro $F\approx 91$ N e $a\approx 91$ m/s²: è sbagliato di un fattore $10^3$ (dimenticato il prefisso $\mu$ nella pressione, $9{,}1\;\mu$Pa letti come $9{,}1$ mPa). Il valore corretto è $F\approx 0{,}091$ N.

Il libro riporta erroneamente

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Pressione di radiazione