Esercizio svolto — Sole, Milano-Napoli e perdita di massa

Testo

Sulla Terra la luce solare arriva con intensità $I_\oplus = 1000\;\text{W/m}^2$; la Terra dista $r_\oplus = 1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$ dal Sole. (a) Qual è la luminosità totale $P_\odot$ del Sole (potenza irradiata in tutte le direzioni)? (b) A quale distanza dal centro del Sole la pressione di radiazione uguaglia la pressione atmosferica $P_\text{atm} = 10^5\;\text{Pa}$? (c) A che ritmo (in kg/s) il Sole perde massa a causa dell’irraggiamento?

Soluzione

(a) Luminosità del Sole. L’energia si distribuisce su sfere concentriche: l’intensità a distanza $r$ è $I = P_\odot/(4\pi r^2)$. Alla distanza della Terra vale $I_\oplus$, quindi

$P_\odot = I_\oplus\,4\pi r_\oplus^2 = 1000\cdot 4\pi\cdot (1{,}5\cdot 10^{11})^2 \approx 2{,}8\cdot 10^{26}\;\text{W}$

$\ev{P_\odot \approx 2{,}8\cdot 10^{26}\;\text{W}}$

(b) Distanza a cui la pressione di radiazione uguaglia $P_\text{atm}$. Per assorbimento completo la pressione di radiazione è $P_\text{rad} = I/c$. Imponendo $P_\text{rad} = P_\text{atm}$ serve un’intensità

$I = c\,P_\text{atm} = 3\cdot 10^8\cdot 10^5 = 3\cdot 10^{13}\;\text{W/m}^2$

Da $I = P_\odot/(4\pi r^2)$ ricaviamo la distanza dal centro:

$r = \sqrt{\frac{P_\odot}{4\pi I}} = \sqrt{\frac{2{,}8\cdot 10^{26}}{4\pi\cdot 3\cdot 10^{13}}} \approx 8{,}6\cdot 10^5\;\text{m}$

$\ev{r \approx 8{,}6\cdot 10^5\;\text{m} \approx 860\;\text{km}}$

È una distanza ancora ben dentro il Sole (il raggio solare è circa $7\cdot 10^8\;\text{m}$): la pressione di radiazione diventa “atmosferica” solo a $860\;\text{km}$ dal centro, all’incirca quanto la distanza Milano-Napoli ($\sim 770\;\text{km}$).

(c) Perdita di massa per irraggiamento. Ogni energia irradiata corrisponde, per equivalenza massa-energia $E = mc^2$, a una massa persa. La potenza $P_\odot$ equivale a un tasso di perdita di massa

$\dot m = \frac{P_\odot}{c^2} = \frac{2{,}8\cdot 10^{26}}{(3\cdot 10^8)^2} \approx 4{,}4\cdot 10^9\;\text{kg/s}$

$\ev{\dot m \approx 4{,}4\cdot 10^9\;\text{kg/s}}$

Circa $4$ milioni di tonnellate al secondo trasformate in luce: enorme in assoluto, ma trascurabile rispetto alla massa totale del Sole ($\sim 2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$).

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Intensità di un’onda · Pressione di radiazione · Equivalenza massa-energia Competenze: Stime di Fermi