Problema — Fantafisica epsilon0 raddoppia

Testo

Supponi che la costante dielettrica del vuoto $\varepsilon_0$ raddoppi improvvisamente, mentre $\mu_0$ resta invariata. Come cambierebbero:

• (a) la capacità di un condensatore a facce parallele;
• (b) la velocità della luce nel vuoto;
• (c) l’energia immagazzinata nel condensatore caricato alla stessa tensione?

Soluzione

(a) Capacità. Per un condensatore piano $C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}$ $C$ è direttamente proporzionale a $\varepsilon_0$: se $\varepsilon_0$ raddoppia, anche $\ev{C\ \text{raddoppia}}$.

(b) Velocità della luce. Dalla relazione di Maxwell $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$ con $\mu_0$ costante, $c\propto 1/\sqrt{\varepsilon_0}$. Raddoppiando $\varepsilon_0$: $c'=\frac{c}{\sqrt2}\approx 0{,}71\,c$ la luce rallenterebbe di un fattore $1/\sqrt2$.

(c) Energia immagazzinata (a tensione costante). L’energia di un condensatore in funzione della tensione è $U=\frac{1}{2}C V^2$ A parità di $V$, $U$ è proporzionale a $C$. Poiché $C$ raddoppia: $\ev{U\ \text{raddoppia}}$

Refuso nel libro $U$ dimezza". A tensione costante vale $U=\tfrac12 CV^2$, quindi $U\propto C$ e l'energia raddoppia, non dimezza. L'errore nasce probabilmente dall'uso della formula $U=\tfrac{Q^2}{2C}$ (valida a carica costante, non a tensione costante): in quel diverso scenario $U$ dimezzerebbe. Con l'ipotesi del testo (stessa tensione) la risposta corretta è che $U$ raddoppia.

Il libro riporta erroneamente che “

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Capacità e condensatore · Equazioni di Maxwell Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica