Problema — Campo B tra le armature di un condensatore

Testo

Un condensatore ha armature circolari di raggio $R_0 = 5\;\text{cm}$. Tra le armature il campo elettrico cresce al ritmo $\dd E/\dd t = 10^{10}\;\text{V/(m·s)}$. Il campo magnetico generato dalla corrente di spostamento, a distanza $r$ dall’asse (con $r < R_0$), vale $B(r) = \mu_0\varepsilon_0\,r\,(\dd E/\dd t)/2$. Calcolalo a $r = 1\;\text{cm}$. (Ricorda $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$.)

Soluzione

Impostazione. La variazione del campo elettrico tra le armature agisce come una corrente di spostamento e genera un campo magnetico circolare. Usando $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$:

$B(r) = \frac{1}{c^2}\,\frac{r}{2}\,\ddt{E}$

Sostituzione numerica. Con $r = 1\;\text{cm} = 0{,}01\;\text{m}$, $\dd E/\dd t = 10^{10}\;\text{V/(m·s)}$ e $c^2 = 9\cdot 10^{16}\;\text{m}^2/\text{s}^2$:

$B = \frac{1}{9\cdot 10^{16}}\cdot\frac{0{,}01}{2}\cdot 10^{10} \approx 5{,}6\cdot 10^{-10}\;\text{T}$

$\ev{B \approx 5{,}6\cdot 10^{-10}\;\text{T}}$

Il campo magnetico prodotto dalla corrente di spostamento è piccolissimo (frazioni di nanotesla), ma la sua esistenza è essenziale: è il termine di Maxwell che rende possibili le onde elettromagnetiche.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Campo magnetico