Elettrone confinato e indeterminazione

Testo

Un elettrone è confinato in una regione di dimensione $\Delta x \approx 10^{-10}\;\text{m}$ (ordine di grandezza dell’atomo). Stima, usando il principio di indeterminazione di Heisenberg, l’incertezza minima sulla sua quantità di moto e la corrispondente energia cinetica tipica in eV.

Soluzione

Passo 1 — Incertezza minima sull’impulso. Dal principio di indeterminazione $\Delta x\,\Delta p \geq \hbar/2$:

$\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\,\Delta x} = \frac{1{,}055\cdot 10^{-34}}{2\cdot 10^{-10}} \approx 5{,}3\cdot 10^{-25}\;\text{kg·m/s}$

Passo 2 — Energia cinetica tipica. L’impulso è dell’ordine della sua stessa incertezza, $p \sim \Delta p$, quindi

$K \sim \frac{(\Delta p)^2}{2 m_e} = \frac{(5{,}3\cdot 10^{-25})^2}{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}} \approx \frac{2{,}8\cdot 10^{-49}}{1{,}82\cdot 10^{-30}} \approx 1{,}5\cdot 10^{-19}\;\text{J}$

Passo 3 — In elettronvolt.

$\ev{K \sim \frac{1{,}5\cdot 10^{-19}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx 1\;\text{eV}}$

Un elettrone confinato su scala atomica ha quindi un’energia cinetica di qualche eV, proprio l’ordine di grandezza delle energie di legame atomiche. Il confinamento stesso “genera” l’energia cinetica: è la ragione quantistica per cui l’elettrone non cade sul nucleo.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Principio di indeterminazione Oggetti: Atomo di idrogeno