Compton a 90 gradi con raggi X

Testo

Un fotone di raggi X con $\lambda = 50\;\text{pm}$ viene diffuso da un elettrone inizialmente a riposo e deviato di $\theta = 90^\circ$ (effetto Compton). Calcola la variazione $\Delta\lambda$ della lunghezza d’onda e la nuova $\lambda'$. Quale frazione di energia ha ceduto il fotone all’elettrone?

Soluzione

Passo 1 — Variazione di lunghezza d’onda (formula di Compton). Con $\lambda_C = h/(m_e c) = 2{,}43\;\text{pm}$ e $\theta = 90^\circ$ ($\cos 90^\circ = 0$):

$\Delta\lambda = \lambda_C\,(1 - \cos\theta) = 2{,}43\;\text{pm}\cdot(1 - 0) = 2{,}43\;\text{pm}$

$\ev{\Delta\lambda \approx 2{,}43\cdot 10^{-12}\;\text{m}}$

Passo 2 — Nuova lunghezza d’onda.

$\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 50 + 2{,}43 = 52{,}43\;\text{pm}$

Passo 3 — Frazione di energia ceduta. Poiché $E = hc/\lambda$, la frazione persa dal fotone è

$\frac{\Delta E}{E} = 1 - \frac{E'}{E} = 1 - \frac{\lambda}{\lambda'} = 1 - \frac{50}{52{,}43} \approx 0{,}046$

$\ev{\frac{\Delta E}{E} \approx 4{,}6\%}$

Il fotone cede circa il 4,6% della sua energia all’elettrone di rinculo. Lo spostamento assoluto $\Delta\lambda$ è fisso (dipende solo dall’angolo), ma diventa percentualmente importante solo per $\lambda$ piccole, cioè per i raggi X e $\gamma$: ecco perché l’effetto Compton si osserva con luce molto energetica.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Effetto Compton · Fotone